反函数都是单调函数，老师说单调不是严格意义上的单调，那么是什么？

要想理解反函数，首先要明确“函数”的定义
函数：若对于的每一个a的取值，都有且只有一个b的值与其对应，那么b就是a的函数
可以记作b=f(a)

反函数：
今有函数y=f(x)，（显然，y是x的函数）。若满足“x也是y的函数”，则函数y=f(x)存在反函数；若x不是y的函数，则函数y=f(x)不存在反函数

解释：
若有一个函数y=f(x)，则一定有“对于(定义域内)每一个x的取值，都有且只有一个y的值与其对应”。
在此基础上，若对于的每一个y的取值，都有且只有一个x的值与其对应，那么x就也是y的函数
即x与y的关系也可以记作x=g(y)
那么就可以说y=f(x)的反函数是y=g(x)

若有一个函数y=f(x)，（则一定有“对于的每一个x的取值，都有且只有一个y的值与其对应”）
但是对于某些y值，有不止一个x值与其对应，那么y就不是x的函数
也就是说y=f(x)没有反函数

举几个例子就更容易说了：
比如函数y=x^2，要想判断它有没有反函数，就要判断“x是不是y的函数”
由图像显然得出，对于每一个y，有不止1个x与其对应，不符合函数的定义，所以x不是y的函数
所以函数y=x^2不存在反函数

其实求反函数就是一个“反解x的过程”，即把每一个y的值代进去后，关于x的方程的根“有且只有一个”，那么x就是y的函数；若存在某一个y值，使关于x的方程的根大于1个，就说明x不是y的函数。
反映在平面直角坐标系上就是：若每一个平行于x轴的直线都与函数y=f(x)图象 只有一个交点 或者没有交点，则y=(x)就存在反函数。反之则y=f(x)不存在反函数

比如函数y=2x，由反解x得：x=y/2，显然，x是y的函数
所以函数y=2x存在反函数，且其反函数为y=x/2（反函数要把原来的x和y换个位置）

说一下你的问题：
可以说：若函数y=f(x)在其定义域上单调，则函数y=f(x)一定存在反函数
而不能说：若函数y=f(x)存在反函数，则函数y=f(x)一定在其定义域内是单调函数

因为，如果若函数y=f(x)在其定义域上单调，则对于每一个y，一定有且只有一个x与其对应，所以x是y的函数，所以y=f(x)存在反函数

如果y=f(x)存在反函数，则只能说明x也是y的函数，而仅由这个条件是不足以推出“y=f(x)是单调函数”的。比如y=1/x，它就满足y是x的函数且x是y的函数，所以它也是反函数，但它在其定义域内并不是严格地单调。
总之，一个函数有没有反函数，与其是否单调 没有必然联系

你老师说错了，必须是严格单调函数，才有反函数

在这里，“单”的意思就是“只”，指函数在这一区间上要么递增、要么递减，不可能又有增、又有减。
例如二次函数，就不能说在r上是单调函数，因为它在r上有增又有减。但在对称轴的左侧和右侧，却又都是单调函数。