证明:当x>1时，x+1>2(x-1)⼀lnx

原不等式可化为lnx>2(X-1)/(X+1)
因为
当X=1时 lnx=2(X-1)/(X+1)=0
设m=（lnx)'=1/x,n=[2(X-1)/(X+1）]'=4/(x+1)^2
当X>1时 m>0,n>0
所以lnx与2(X-1)/(X+1) 单调递增
m-n=(x-1)^2/4x(x+1)^2>0 （lnx斜率大于2(X-1)/(X+1)的斜率）
即证得：X大于1时 lnx>2(X-1)/(X+1 )

设y=(x+1)lnx-2(x-1)
y′=(x+1)/x+lnx-2=1/x+lnx-1
y′′=-1/x²+1/x
当x>1 时y′′=(1/x)(1-1/x)>0
所以当x>1时 y′单调增 当x=1时 y′=0 所以当x>1时y′>0
所以 当x>1 y单调增 当x=1 y=0 所以当x>1 y>0
所以当x>1 时 (x+1)lnx-2(x-1)>0
lnx( x+1)>2(x-1)
x+1>2(x-1)/lnx

【1】
函数g(x)=(xlnx)+1-x. x∈[1, +∞)
求导，g'(x)=lnx
易知，当x≥1时，g'(x)=lnx≥0
∴在区间[1,+∞)上，函数g(x)=(xlnx)+1-x递增。
∴当x＞1时，恒有g(x)＞g(1)
即当x＞1时，恒有(xlnx)+1-x＞0
【2】
函数f(x)=[(x+1)lnx]-2(x-1), x∈[1, +∞)
求导，f'(x)=[(xlnx)+1-x]/x.
∵x∈[1, +∞), 结合上面的结论可知
在区间[1,+∞)上，f'(x)≥0
∴此时函数f(x)递增，
∴此时当x＞1时，f(x)＞f(1)
即恒有 [(x+1)lnx]-2(x-1)＞0
∴(x+1)lnx＞2(x-1), (x＞1)
显然此时lnx＞0
∴有x+1＞[2(x-1)]/(lnx) x＞1

设f(x)=(x＋1)lnx－2(x－1)
则：f'(x)=lnx＋(1/x)－1=h(x)
则：h'(x)=(1/x)－(1/x)²，在x>1时，h'(x)>0，即：h(x)在x>1时递增，且其最小值是h(1)=0，从而，得：f'(x)在x>1时的最小值是f'(1)=0，所以f'(x)在x>1时是恒大于0的，即函数f(x)在x>1时是递增的。
对于x>1，恒有：f(x)>f(1)
f(x)>0
即：当x>1时，(x＋1)lnx－2(x－1)>0
则：当x>1时，x＋1>2(x－1)/lnx