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2011年数学高考试卷中，江苏省第二十题第二问答案中有n>=8,为什么要以8为界线呢？还有安徽省卷的第十八题

2024-12-29 08:47:32

推荐回答（5个）

回答1：

原题：设M为部分正整数组成的集合，数列｛an｝的首项a1 = 1，前n项和为Sn，已知对任意整数k属于M，当n＞k时，S(n+k)+S(n-k)=2(Sn+Sk)都成立。
设M =｛3，4｝，求数列｛an｝的通项公式.
网上节选的答案：当k∈ M =｛3,4｝且n＞k时，Sn+k + Sn -k = 2Sn + 2Sk且Sn+1+k + Sn +1-k = 2Sn+1 + 2Sk,，两式相减得an+1+k + an +1 -k = 2an+1，即an+1+k - an+1 = an+1 - an +1 -k .所以当n≥8时，an - 6, an - 3, an, a n+ 3, an+ 6成等差数列，且an - 6, an - 2, an + 2, an + 6也成等差数列.
【【【为何要以8为界线呢？主要是想使得n分别取3和4时成的等差数列有共同的等差项数，不然不直接令K=3，或者K=4呢，干嘛要这样烦呢？正好，当n≥8时，有了共同的项数a（n+6）】】】
先把a(n+1+k) - a(n+1) = a(n+1) - a(n +1 -k)转化为a(n+1+k) +a(n +1 -k)=2a(n+1).
因为k∈ M =｛3,4｝，所以当k=3时，即当n＞k=3时，a(n+4)+a(n-2)=2a(n+1)
当n＞4时，a(n+3)+a(n-3)=2an，当n＞5时，a(n+2)+a(n-4)=2a(n-1）,当n＞6时，a(n+1)+a(n-5)=2a(n-2）,，当n＞7时，an+a(n-6)=2a(n-3),当n＞7时，则an,a(n-3),a(n-6)成等差数列。推出：即n≥8时，a(n+6),a(n+3),an,a(n-3),a(n-6)成等差数列.
所以又当k=4时，即当n＞k=4时，a(n+5)+a(n-3)=2a(n+1)，当n＞5时，a(n+4)+a(n-4)=2an，
当n＞6时，a(n+3)+a(n-5)=2a(n-1)，当n＞7时a(n+2)+a(n-6)=2a(n-2)，当n＞7时，则a(n+2)，a(n-2)，a(n-6)成等差数列.又推出：即n≥8时，a(n+6),a(n+2),a(n-2),a(n-6)成等差数列.
……后面n≥8时，a(n+2)-an=an-a(n-2),当n≥9时，a(n+1)-a(n-1)=a(n-1)-a(n-3)，即a(n+1)+a(n-3)=2a(n-1),即n≥9时，a(n+3),a(n+1),a(n-1),a(n-3)成等差数列.
【这个方法不好，有点像在拼凑，网上还有另外一种解法，如下：】
Sn + 3 + Sn -3 = 2(Sn+ S3), Sn + 4+ Sn -2 = 2(Sn + 1+ S3)an + 4 + an -2 = 2an + 1(n≥4)
数列｛a3n -1｝、｛a3n｝、｛a3n + 1｝(n≥1)都是等差数列
Sn- a1为三个等差数列前若干项之和的和Sn = an2 + bn + c（a、b、c为常数）；
S1 = a1, Sn + 3 + Sn - 3 =2(Sn+ S3), Sn + 4 + Sn - 4=2(Sn+ S4) a + b + c = 1, 3b + c = 0, 4b + c = 0，a = 1, b = c = 0Sn = n2 an = Sn - Sn - 1（S0 = 0）= n2 -（n -1）2 = 2n -1.

回答2：

由题设知，当k∈ M =｛3,4｝且n＞k时，Sn+k + Sn -k = 2Sn + 2Sk且Sn+1+k + Sn +1-k = 2Sn+1 + 2Sk,，两式相减得an+1+k + an +1 -k = 2an+1，即an+1+k - an+1 = an+1 - an +1 -k .所以当n≥8时，an - 6, an - 3, an, a n+ 3, an+ 6成等差数列，且an - 6, an - 2, an + 2, an + 6也成等差数列.从而当n≥8时，2an = an + 3+ an -3 = an + 6 + an - 6（*），且an + 6 + an - 6 = an + 2 + an -2 .所以当n≥8时，2an = an + 2 + an -2 ，即an + 2 - an = an - an -2 .
于是当n≥9时，an -3, an - 1, an + 1, an + 3成等差数列，从而an + 3 + an -3 = an + 1 + an - 1 .
故由（*）知2an = an+ 1 + an -1，即an+ 1 - an = an - an -1.当n≥9时，设d = an- an -1.
当2≤m≤8时，m + 6≥8,从而由（*）式知2am + 6 = am+ am + 12,
故2 am + 7 = am + 1+ am + 13.从而2（am + 7 - am + 6）= am + 1 -am +（am + 13 - am + 12），于是am + 1 - am = 2d–d = d.因此，an + 1 –an = 2d对任意n≥2都成立.
又由Sn + k + Sn - k -2Sn = 2Sk（k∈｛3,4｝）可知（Sn + k - Sn）-（Sn- Sn -k）= 2Sk ，
故9d = 2 S3且16d = 2S4.解得a4 =d,从而a2 =d，a1 =d.因此，数列｛an｝为等差数列.
由a1 = 1知d = 2，所以数列｛an｝的通项公式为an = 2n -1.

回答3：

高中数学那个坑爹啊才高考完的发现大学数学没难度就是应付考试高中数学是选拔考试所以题都不简单另外关于你的提问我实在不想去回想那些恶心的数学题尤其是20 21 22这样的大题

回答4：

http://zhidao.baidu.com/question/287360797.html?an=0&si=2

回答5：

好难，连答案都看不懂

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