51问答网 > 当 x->0 若 limf(x)=0 且 lim(f(2x)-f(x))⼀x=0 证明：limf(x)⼀x=0

当 x->0 若 limf(x)=0 且 lim(f(2x)-f(x))⼀x=0 证明：limf(x)⼀x=0

2025-02-24 12:19:51

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回答1：

lim(f(2x)-f(x))/x=0
所以对于任意ε，存在δ，-δ因为|f(x)-f(x/2)|<|εx/4|, |f(x/2)-f(x/4)|<|εx/8|,...|f(x/2^(n-1))-f(x/2^n)|<|εx/2^(n+)|,
所以|f(x)-f(x/2^n)|≤|f(x)-f(x/2)|+ |f(x/2)-f(x/4)|+...+|f(x/2^(n-1))-f(x/2^n)|
<|εx/4|+...+|εx/2^(n+2)|=|(1/2-1/2^(n+2))εx|<|εx/2|, (n任意)
对于该x，因为limf(x)=0 ，所以我们可以取n足够大使得|f(x/2^n)|<|εx/2|,（注意是固定x后再去找n），|f(x)|≤|f(x)-f(x/2^n)|+|f(x/2^n)|<|xε|，|f(x)/x|＜ε
证毕。

回答2：

lim(f(2x)/x-f(x)/x)=2*lim(f(2x)/2x)-lim(f(x)/x)=0,设lim(f(x)/x)=t,则2*t-t=0，得t=0，即lim(f(x)/x)=0；