一道简单初中数学题

二次三项式x^2+2ax+b^2与x^2+2cx-b^2有 一次公因式
设x^2+2ax+b^2 = (x-M)(x-A) x^2+2cx-b^2 =(x-M)(x-B)
也就是(x-M)是共因式，相加，共因式不变
相加得x^2+2ax+b^2+x^2+2cx-b^2=2x^2+2ax+2cx = 2x(x+a+c)
公因式就是 x+a+c 或者 2x(可以证明，2x不合题意)

假设公因式是x+a+c，那么x-M = x+a+c,M=-a-c
假设x=-a-c ,x^2+2ax+b^2 = (x-M)(x-A) = (x-A)(x-(-a-c)) = 0
将x=-a-c带入得
(-a-c)^2+2a*(-a-c)+b^2=0,可以得出a^2=b^2+c^2

当公因式是2x的时候同样的方法发现b=0，不合题意
所以公因式是x+a+c，
证明了结论
谢谢采纳
如有不懂 继续 hi我

设公因式为（x+d)
x^2+2ax+b^2=(x+d)(x+e)=x^2+(d+e)x+de
x^2+2cx-b^2=(x+d)(x+f)=x^2+(d+f)x+df
∵de=b^2,df=-b^2
∴e=-f
∴d+e=2a (1),
d+f=2c (2)
∴式(1)-(2) 得e-f=-2f=2a=2c,f=c-a
,e=-f=a-c
d=2a-e=2a-a+c=a+c
x^2+2ax+b^2=(x+d)(x+e)=[x+(a+c)][x+(a-c)]=x^2+2ax+a^2-c^2=x^2+2ax+b^2
∴b^2=a^2+c^2
所以ABC为直角三角形
这个方法比较复杂，我不知道其他简便一点的方法

证明：设一次公因式为x-m，所以当x = m时，x^2+2ax+b^2和x^2+2cx-b^2的值都为0（x-m是两个式子的因式，0乘以任何数都为0）
所以m^2+2am+b^2 = 0, m^2+2cm-b^2 = 0
两式相减得2(am-cm+b^2) = 0即(c-a)m = b^2 (1)
两式相加得2(m^2+am+cm) = 0即(a+c+m)m = 0 (2)
如果m = 0，由（1）式可得b = 0，而b不能等于0，故m不等于0
于是（2）式两边同时除以m可得a+c+m = 0,m = -(a+c) （3）
将（3）代入（1）可得a^2-c^2 = b^2
由勾股定理可知 ABC为直角三角形
有什么问题可以追问呀，明白了的话给个最佳答案呀\(^o^)/

我只是飘过.....

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