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第三章 图形的平移与旋转

本章教材分析

本章立足于学生已有的生活常识，从经常见到的一些实际的平移、旋转现象入手，直观地认识平移和旋转，并动手做一些平移和旋转的实验，从中体验平移、旋转过程中物体的形状、大小没有发生变化，进一步观察图形在平移、旋转运动与变换过程中有关点、线段和角的变化现象，从而得出一般的性质。
通过对平移、旋转在实际中的实例观察、认真思索，分析归纳出平移和旋转的一般性质，即：在变换过程中图形的形状和大小都没改变，只是位置发生了改变，并探索出图形变化前后的位置之间的对应点，对应线段之间所具有的一般性质和规律，从而提高了同学们对生活的观察能力，和将实际问题抽象成数学问题的能力。
根据已有的平移、旋转知识，课本设计了图形是怎样变化过来的一节，让大家更进一步观察平移、旋转，感悟变化过程中，为下一节中简单的图形设计打下了良好的基础。
通过自己动手设计图案，并与同学交流的活动，加深对平移、旋转的理解，提高学生的动手操作能力和审美的认识，让学生体验到成功的乐趣。

3．1 生活中的平移
一、学习目标定位
1．经历观察、分析、操作、欣赏以及抽象、概括等过程，探索图形平移的基本性质，进一步发慌空间观察，增强审美意识。
2．通过具体实例认识平移，理解平移的基本内涵，理解平移的基本性质。
二、重点难点解析
重点：平移的基本内涵和平移的基本性质。
难点：平移特征的探索及理解。
三、教学过程
1．引入
列举“传送带上的电视机的形状、大小是否发生了改变”、“手扶电梯上的人”、“笔直的铁道上行驶的火车”、“上下楼的电梯”等与平移有关的现象，可见平移在生活中无处不在，为我们的生活带来很大帮助。借助实物演示平移。
上述这些现象所具有的共同特征：沿某一方向移动一定距离，形状、大小不改变。
2．总结得出平移的定义：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移。
分析平移定义，探讨“沿某一方向”的意义，其实质是沿直线运动。
让学生列举生活中的平移实例，对理解有偏差的加以纠正。
3．平移的性质
根据定义得到：经过平移，对应点所连的线段平行且相等；对应线段平行且相等，对应角相等。
如图：P68 点A、B、C、D分别平移到了点E、F、G、H，A与E，B与F，C与G，D与H分别是一对对应点；AB与EF是一对对应线段；∠BAD与∠FEH是一对对应角。
4．例题讲解
例1 如图所示，△ABE沿射线XY方向平移一定距离后成为△CDF。找出图中平行且相等的线段和全等的三角形。

变式练习：如图所示，∠DEF是∠ABC经过平移得到的，∠ABC＝33O，求∠DEF的度数。

2．如图所示，将∠ABC沿射线XY平移至∠A／B／C／，且BC与A／B／交点为D，图中有哪些相等的角？

3.运用所过的轴对称及图形的平移知识设计一幅图案，或画出生活中所见到的图案。
4．如图所示有两个村庄A和B被一条河隔开，现要架一座桥（桥与河岸垂直），请你设计一种方案，使由A到B的路程最短。

3.2 简单的平移作图
一、学习目标定位
1．能够按要求作出简单平面图形平移后的图形。
2．能够探索图形之间的平移关系。
二、重点难点解析
重点：按给定要求作出简单平面图形平移后的图形以及探索图形之间的平移关系。
难点：寻找较复杂图案中“基本图案”。
三、教学过程
第一课时
1．复习引入：
提问：1、什么叫平移？2、平移有哪些性质？3、决定平移的两大要素是什么？
2．探究新知：
提出问题：（课件演示）经过平移，线段AB的端点移到了点D，你能作出线段AB平移后的图形吗？
A D

B E
图表 1
引导学生归纳总结作图的方法。
练习：P74 1
3．例题讲解
例1：如图，经过平移，△ABC的顶点A移到了点D，请作出平移后的三角形。
分析：因为A与D是对应点，而平移的对应点的连线段平行且相等所以平移方向——射线AD，平移距离——线段AD的长，
作法：
1、分别过点B、C沿AD方向作线段BE、CF，使它们与AD平行且相等
2、顺次连结D、E、F
则△DEF即为所求。

练习：P84 2
例2先讨论，再讲解。将字母A按箭头所指的方向平移3厘米，作出平移后的图形。

练习P84 3

补充：

如图，已知Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4，AC=4，现将△ABC沿CB方向平移到△A’B’C’的位置。
（1）若平移距离为3，求△ABC与△A’B’C’的重叠部分的面积；
（2）若平移距离为x（ ），求△ABC与△A’B’C’的重叠部分的面积y，并写出y与x的关系式。
解：（1）由题意CC’=3，BB’=3，所以BC’=1，
又由题意易得重叠部分是一个等腰直角三角形，所以其面积为 ；
　　（2）
说明：这里应用了平移的定义及对应线段平行的性质。

第2课时
创设情景，探究新知：
（演示课件）：教材上小狗的图案。提问：（1）这个图案有什么特点？（2）它可以通过什么“基本图案”，经过怎样的平移而形成？（3）在平移过程中，“基本图案”的大小、形状、位置是否发生了变化？
看磁性黑板，展示教材64页图3-9，提问：左图是一个正六边形，它经过怎样的平移能得到右图？谁到黑板做做看？
展示教材64页3-10，提问：左图是一种“工”字形砖，右图是怎样通过左图得到的？

（演示课件）教材65页图3-11，提问：这个图可以看做是什么“基本图案”通过平移得到的？

3.3 生活中的旋转
一、学习目标定位
1．通过对生活中与旋转现象有关的图形进行观察、分析，以及动手操作、画图等过程，掌握有关的画图技能。
2．通过具体实例认识旋转，理解旋转前后两个图形对应点到旋转中心距离相等，对应点与旋转中心的连线所成的角彼此相等的性质，发展初步的审美能力。
二、重点难点解析
重点：对生活中的旋转现象作数学上的分析研究，旋转的定义，旋转的基本性质。
难点：对旋转现象的分析研究，对旋转性质的探索。
三、教学过程
(一)巧设情景问题，引入课题
日常生活中，我们经常见到以下情景(出示图示：钟表、汽车方向盘、辘轳或电脑演示：钟表指针的转动、汽车方向盘的转动、辘轳打水的情景)。（1)上面情景中的转动现象，有什么共同特征？(2)钟表的指针、钟摆在转动过程中，其形状、大小、位置是否发生改变？汽车方向盘的转动呢？
1.在这些转动的现象中，它们都是绕着一个点转动的。
2.每个物体的转动都是向同一个方向转动。
3.钟表的指针、钟摆在转动过程中，它的形状、大小没有变化，只是它的位置有所改变.
4.汽车的方向盘在转动过程中，同样它的形状、大小没有改变，方向盘上的每点的位置所变化。同学们观察得很仔细，我们把这样的转动叫旋转(circumrotate)，这节课我们就来探讨生活中的旋转.
（二）讲授新课
1．在数学中，如何定义旋转呢？在平面内，将一个图形绕着一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转(circumrotate).这个定点称为旋转中心，转动的角称为旋转角.
注意：“将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度”意味着图形上的每个点同时都按相同的方式转动相同的角度.在物体绕着一个定点转动时，它的形状和大小不变。因此，旋转具有不改变图形的大小和形状的特征。
2．由旋转的定义总结决定旋转的三要素：
旋转中心，旋转方向，旋转角度。
对应练习：P80 随堂练习 1
议一议：（课本67页）答：(1)旋转中心是O点，旋转角是∠AOD.旋转角还可以是∠BOE.
(2)四边形AOBC绕O点旋转到四边形DOEF的位置.这时点A旋转到点D的位置，点B旋转到点E的位置.
(3)可以把OA看作钟表的指针，它OA的位置旋转到OD的位置，指针的长短、形状没有变化，所以OA与OD是相等的.同样，线段OB与OE是相等的.
(4)因为四边形AOBC绕O点旋转到四边形DOEF的位置，在旋转的过程中，图形上的每个点同时都按相同的方向旋转相同的角度，所以∠AOD与∠BOE是相等的.
(4)也可以这样理解：因为四边形AOBC绕O点旋转到四边形DOEF的位置，所以∠AOB与∠DOE是相等的，又因为∠BOD是公共角，所以，∠AOD与∠BOE是相等的.
看上图，四边形DOEF是由四边形AOBC绕O点旋转得到的，经过旋转，点A移动到点D的位置，点B移动到点E的位置，点C移动到点F的位置，则点A与点D、点B与点E、点C与点F就是对应点.从刚才大家得出的结论中，能否总结出旋转的性质呢？
答：因为O是旋转中心，点A与点D是对应点，点B与点E是对应点，且OA=OD，OB=OE，所以可以知道：对应点与旋转中心所连的线段的长度是相等的.
因为点A与点D、点B与点E是对应点，且∠AOD=∠BOE，所以由此可以知道：对应点与旋转中心的连线所成的角是互相相等的.
由此我们得到了
3．旋转角的定义：任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角。
4．旋转的基本性质：经过旋转，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线所成的旋转角相等.
5．例题讲解：
［例1］
分析：经演示(钟表实物或教具)可以知道，分针是绕着表面盘的中心位置，即钟表的轴心旋转的，它旋转一周时的度数是360°,一周需要60分，因此每分钟分针所转过的度数是6°，这样20分时，分针逆转的角度即可求出。
补充练习：
1．2点整、7点整，时针与分针所成的角分别为几度？
析： 点整，时针经过 ，与分针的夹角是 时，夹角为 ， 时为 ，2点时， ；7点时，
2．3点12分，3点40分时，时针与分针所成角各为多大？
析： 点 分时，两针所成的角为 。其中，时针每小时转动 ，时针每分钟转动 。

（三）活动与探究
1.分析图中的旋转现象.

过程：让学生画图、找规律，也可让他们通过剪切，找到旋转规律.
结果：旋转现象为：
整个图形可以看做是图形的八分之一(一组大小不等的三个“角”)绕中心位置，按照同一方向连续旋转45°、90°、135°、180°、225°、270°、315°前后的图形共同组成的.
整个图形也可以看做是图形的四分之一(两组相邻的“角”)绕中心位置连续旋转90°、180°、270°前后的图形共同组成的.
整个图形还可以看做是图形的二分之一(四组相邻的“角”)绕中心位置旋转180°前后的图形共同组成的.
2.图中是否存在这样的两个三角形，其中一个是另一个通过旋转得到的？

过程：同样让学生在画图过程中体会图形中每个三角形之间的关系；或让学生仔细观察图形，分析图形，找出关系.
结果：图中存在这样的三角形，其中一个是另一个通过旋转得到的.
整个图形可以看做图形的四分之一(一组“楼梯”)绕中心连续旋转90°、180°、 270°.前后的图形共同组成的.
整个图形也可以看做图形的二分之一(两组“楼梯”)绕中心位置旋转180°前后的图形共同组成的。
四、归纳小结
图形的旋转：旋转中心在旋转过程中保持不动。
旋转的特征：图形中每一点都绕着旋转中心旋转了同样大小的角度，对应的点到中心的距离相等，对应线段、角均相等。
旋转对称图形：旋转一定角度后能与自身重合。

3.4 简单的旋转作图
一、学习目标定位
1．经历对具有旋转特征的图形进行观察、分析、动手操作和画图等过程，掌握画图技能。
2．能够按要求作出简单平面图形旋转后的图形。
二、重点难点解析
重点：利用基本作图求作简单图形旋转后的图形。
难点：正确运用作图的步骤，正确运用作图语言。
三、教学过程
（一）巧设情景问题，引入课题
上节课我们探讨了生活中的旋转，那什么样的运动是旋转呢？
旋转有什么性质呢？
大家来看一面小旗子(出示小旗子，然后一边演示一边叙述)，把这面小旗子绕旗杆底端旋转90°后，这时小旗子的位置发生了变化，形成了新的图案，你能把这时的图案画出来吗？ 在原图上找了四个点，即O点、A点、B点、C点，如图(教师把该生所画的图在投影上放影)这四个点可以是能表示这面小旗子的关键点.因为旋转前后两个图形的对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线所组成的旋转角彼此相等，所以根据已知：要把这面小旗绕O点按顺时针旋转90°.我在方格中找到点A、B、C的对应点A′、B′、C′，然后连接，就得到了所求作的图形.

同学们在作图过程中，
基本掌握了作图的一个要点：（1）定好旋转中心，认准旋转方向，确定旋转角度。
（2）找图形的关键点。
这面小旗子是结构简单的平面图形，在方格纸上大家能画出它绕点旋转后的图形，那么在没有方格纸或旋转角不是特殊角的情况下，能否也画出简单平面图形旋转后的图形呢？
这节课我们就来研究：简单的旋转作图.
（二）讲授新课
我们通过一例题来说明简单图形旋转后的图形的作法
例1：如图，△ABC绕O点旋转后，顶点A的对应点为点D，试确定顶点B、C对应点的位置，以及旋转后的三角形.

分析：一般作图题，在分析如何求作时，都要先假设已经把所求作的图形作出来，然后再根据性质，确定如何操作.
假设顶点B、C的对应点分别为点E、点F，则∠BOE、∠COF、∠AOD都是旋转角.
△DEF就是△ABC绕点O旋转后的三角形。根据旋转的性质知道：经过旋转，图形上的每一点都绕旋转中心沿相同方向转动了相同的角度，即旋转角相等，对应点到旋转中心的距离相等，则∠BOE=∠COF=∠AOD，OE=OB，OF=OC，这样即可求作出旋转后的图形。
使用直尺和圆规，把这一旋转后的图形作出来，要注意把痕迹保留下来.
(教师一边叙述，板书作法，一边强调正确使用直尺、圆规，同时作图；学生作图)
解：(1)连接OA、OD、OB、OC.
(2)如下图，分别以OB、OC为一边作∠BOE、∠COF，使得∠BOE=∠COF=∠AOD.
(3)分别在射线OE、OF上截取OE=OB、OF=OC.
(4)连接EF、ED、FD.
△DEF,就是△ABC绕O点旋转后的图形.

本题还有没有其他作法，可以作出△ABC绕O点旋转后的图形△DEF吗？
(同学们讨论、归纳)
答：1.可以先作出点B的对应点E，连结DE，然后以点D、E为圆心，分别以AC、BC为半径画弧，两弧交于点F，连结DF、EF，则△DEF就是△ABC绕点O旋转后的图形.
2.也可以先作出点C的对应点F，然后连结DF.因为△ABC与△DEF全等，所以既可以用两边夹角，也可以用两角夹边，找到点B的对应点E，即△DEF.
.接下来，大家来看课本71页想一想：
答：还需要知道绕哪个点旋转，旋转的角度是多少？就是要知道旋转中心和旋转角.
确定一个三角形旋转后的位置的条件为：
(1)三角形原来的位置；(2)旋转中心 ；（3）旋转方向；(4)旋转角。
（三）课堂练习
课本P83随堂练习.
解：如下图，先确定字母N的四个端点绕它右下侧的顶点按顺时针方向旋转90°后的位置，然后连线.

四、归纳小结
本节课我们通过作平面图形旋转后的图形，进一步理解了旋转的性质，并且还知道要确定一个三角形旋转后的位置，需要有：此三角形原来的位置；旋转中心；旋转方向；旋转角等三个条件。

3.5它们是怎样变过来的
一、学习目标定位
1．理解平移、旋转的概念。
2．掌握轴对称的概念。
二、重点难点解析
重点：图形之间的变换关系（轴对称、平移、旋转及其组合）。
难点：图形之间多种变换关系的确定与表述。
三、教学过程
1、情境导入
播放自制图形形成的影片，如图3—5—1。

图3—5—1
2、充分利用本课时引入开放性的问题：上图是由四部分组成，每部分都包括两个小“十”字，其中一部分能经过适当的旋转得到其他三部分吗？能经过平移吗？能经过轴对称吗？还有其它方式吗？
让学生自由发挥，各抒已见，然后进行适当归纳小结：
整个图形可以看做是由一个“十”字组成部分通过连续七次平移前后的图形共同组成；
整个图形也可以看做是由左边的两个“十”字组成的部分通过三次放置形成的；
整个图形不定期可以看做把左边的两个“十”字组成的部分先通过平移一次形成左右四个“十”字组成的图形，然后绕图形中心旋转90度前后的图形共同组成；
整个图形还可以看做把左边的两个“十”字组成的部分通过二次轴对称形成的。
……（学生可能还有其他不同描述，教师应予以肯定）
3、通过上述问题的讨论，我们看到图形的平移、旋转，轴对称变换是图形变换中最基本的三种变换方式，它们是今后设计图案的主要手段。
4、利用“想一想”你能将图3—5—2的左图，通过平移或旋转得到右图吗？

图3—5—2
学生议论或动手操作会发现这是不可能的，教材意图十分明确，要告诉学生并不是所有图形都可以通过一次平移或旋转而得到的，从而要求我们今后分析图形之间的关系时，要充分利用它们各自的性质、特征正确判断和识别。那么上述图形能通过轴对称变换从左图变成右图吗？进一步让学生思考，从而得到结论是可能的。
5、例1 怎样将图3—5—3中的甲图变成乙图案？

图3—5—3
通过相对简单活泼的问题，让学生能运用图形变换的几种不同方式解答问题（先旋转再平移后等到或先平移后旋转也可以）
6、练习：随堂练习：P86
1、

（1）以右图案的中心为旋转中心，将图案按逆时针方向旋转900 。
（2）以右图案的中心为旋转中心，将图案顺逆时针方向旋转2700 。
2、是由三个正三角形拼成的，它可以看做由其中一个三角形经过怎样的变换而得到？

练习：P86 习题3.6
四、归纳小结：
（1）平移变换与旋转变换都不改变图形的形状和大小；
（2）经过平移，对应角相等；对应线段平行且相等；对应点所连的线段平行且相等；
（3）经过旋转，图形上的每一点都绕旋转中心沿相同方向转动了相同的角度，任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角，对应点到旋转中心的距离相等。

3.6简单的图案设计
一、学习目标定位
1．通过观察图形，发展空间观念。
2．能够灵活运用平移、旋转与轴对称的组合进行一定的图案设计。
二、重点难点解析
重点：1、认识和欣赏平移、旋转在现实生活中的应用，进一步发展空间观念，增强审判意识。
2、能灵活运用平移、旋转与轴对称的组合进行一定的图案设计。
难点：运用平移、旋转和轴对称的组合进行图案设计。
三、教学过程设计：
1、情境导入：在优美的音乐中，逐个展示生活中常见的典型图案，并让学生试着说一说每种图案标志的对象。（展示课本图3—23）
明确在欣赏了图案后，简单地复习平移、旋转的概念，为下面图案的设计作好理论准备。对教材给出的六个图案通过观察、分析进行议论交流，让学生初步了解图案的设计中常常运用图形变换的思想方法，为学生自己设计图案指明方向。其中图（1）、（2）、（3）、（4）、（5）、（6）都可以通过旋转适合角度形成（可以让学生自己说说每个旋转的角度和旋转的次数及旋转中心的位置），另外图（2）、（3）、（5）也可以通过轴对称变换形成（可以让学生指出对轴对称及对称轴的条数），而图（2）可以通过平移形成。
2、课本例1 并分析这个图案形成过程。
评注：图案是密铺图案的代表，旨在通过对典型图案的分析欣赏，使学生逐步能够进行图案设计，同时了解轴对称、平移、旋转变换是图案制作的基本手段。例题解答的关键是确定“基本图案”，然后再运用平移、旋转关系加以说明，注意旋转中心可以为图形上某一特征的点。
评注：可以取其中的任何一个为基本图案，然后通过变换得到。而且变化方式也可以是：左下角的图案通过轴对称变换得到左上图和右下图。
（二）课内练习
（1） 以小组为单位，由每组指定一个同学展示该组搜集得到的图案，并在全班交流。
（2） 利用下面提供的基本图形，用平移、旋转、轴对称、中心对称等方法进行图案设计，并简要说明自己的设计意图。

（三）议一议
生活中还有那些图案用到了平移或旋转？分析其中的一个，并与同伴进行交流。
四、归纳小结
图形的平移、旋转与前面学习过的“生活中的轴对称”一样，定位于“生活中的变换现象进行观察、分析、抽象和概括”，使我们全面了解图形平移、旋转及其与轴对称的关系，为今后在图形变换方面的发展提供较为厚实的基础，尤其是体会一些典型图案的设计意图，尽可能全面地体现素材的现实性和问题的挑战性。

本章内容小结

一、 构建知识网络

二、复习指导
平移、旋转与轴对称（以及以后要学习的中心对称等）都是图形之间的一些主要变换，在这些变换中，线段的长度与角的大小都没有改变，图形的形状与大小都没有发生变化。
在几何的有些问题中，已知条件分散，不易发现图形中量与量之间的内在联系，难以找到恰当的图形性质与解题的途径，这时通过恰当的几何变换，将已知条件集中、改变问题的情景，发现图形的性质，找到解决问题的关键，会给我们的解题带来意想不到的效果。

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