取AB中点为G连接FG,CG
FG△ABE是中位线
所以,EF=1/2AE=1/2*2a=a ,且 FG//EF
因AE//CD,FG//EF
所以FG//CD,
因EF=CD=a,FG//CD
所以,四边形FGCD是平行四边形
所以,FD//CG
CG在平面ABC上
即有,FD//平面ABC
2)因AE=AB=2a,且AE垂直于AB
所以AF是等腰RT△ABE斜边上中线
AF⊥BE,
因CG⊥AB,AB是斜线BE射影
所以,CG⊥BE
CG⊥平面ABE
因CG⊥AF
CG//DF
所以AF⊥DF
因AF⊥BE,AF⊥DF,BE和DF交于点E
所以AF⊥平面EDB
(1)要证FD∥平面ABC,可以通过证明FD∥MC实现.而后者可以通过证明CD∥FM,CD=FM,证明四边形FMCD是平行四边形而得出.
(2)要证AF⊥平面EDB,可以通过证明AF⊥EB,AF⊥FD实现.AF⊥EB易证,而AF⊥FD可通过CM⊥面EAB,结合CM∥FD证出.
解答:证明(1)∵F分别是BE的中点,取BA的中点M,
∴FM∥EA,FM=EA=a
∵EA、CD都垂直于平面ABC,∴CD∥EA,
∴CD∥FM,又CD=a=FM
∴四边形FMCD是平行四边形,∴FD∥MC,
FD⊄平面ABC,MC⊂平面ABC
∴FD∥平面ABC.
(2)因M是AB的中点,△ABC是正三角形,所以CM⊥AB
又 EA垂直于平面ABC∴CM⊥AE,
又 AE∩AB=A,所以CM⊥面EAB,∵AF⊂面EAB
∴CM⊥AF,又CM∥FD,从而FD⊥AF,
因F是BE的中点,EA=AB所以AF⊥EB.
EB,FD是平面EDB内两条相交直线,所以AF⊥平面EDB.
点评:本题考查空间直线和平面的位置关系,考查空间想象能力、转化、论证能力.
1、过F做FF'垂直于AB交AB于F'连接F'C,
则F'为AB的中点
FF'垂直于F'C
CD垂直于平面ABC所以CD垂直于F'C
则四边形FF'CD为长方形
所以FD平行于F'C
故FD平行于平面ABC
2、
AF是等要直角三角形EAB底边上的中线
所以AF垂直于EB
同理F'C是正三角形ABC的中线
所以F'C垂直于AB
故F'C垂直于平面EAB
FD平行于F'C
所以FD垂直于平面EAB
所以FD垂直于AF
AF垂直于EB FD
所以AF垂直于平面EDB