设A,B为n阶矩阵,I为n阶单位矩阵,且A=(1⼀2)(B+I),证明A^2=A的充分必要条件是B^=I

2024-12-27 01:32:47
推荐回答(3个)
回答1:

这个可以直接双向证明.
证明: A^2 = A
<=> (1/4)(B+I)^2 = (1/2)(B+I)
<=> B^2+2B+I = 2B+2I
<=> B^2 = I
注: 每步都是充分必要, 故A^2=A的充分必要条件是B^2=I

回答2:

?? 计算一下就行了吧...
I 是 全矩阵环 M_n(R) (或 M_n(C) )的乘法幺元, 与任一矩阵可交换.

回答3:

充分性:A=(1/2)(B+I)
A²=(1/4)(B²+2B+I)=(1/4)(I+2B+I)=(1/2)(B+I)=A

必要性:A²=(1/4)(B²+2B+I)=A=(1/2)(B+I)
那么B²+2B+I=2(B+I)
所以B²=I