计算第一型曲线积分∮xyds,其中l是正方形,|x| |y|=1的边界

在第二象限这个积分就是负的；

第三象限的为正；

第四象限为负；加起来为0。

O(0,0) A(1,1) B(1,0)

∮L xy ds= ∮OA xyds +∮AB xyds +∮BO xyds

∮AB xyds =0 ∮BO xyds=0

∮L xy ds= ∮OA xyds =∫(0,1) x^3[1+(x^2)'^2]^(1/2)dx

=∫(0,1) x^3(1+4x^2)^(1/2)dx

令 x=1/2tant 

∫ x^3(1+4x^2)^(1/2)dx

=1/16 ∫ tan^3tsec^3tdt

=1/16 ∫ tan^2tsect^2t dsect

=1/16 ∫ (sec^2t-1)sec^2t dsect

=1/16 ∫ (sec^4t-sec^2t ) dsect

0

扩展资料：

当是平面上某一可求长度的曲线，是其密度函数，当计算物体的质量问题时便须要第一型曲线积分。

首先对作分割,把分成n个可求长度的小曲线段 (i=1，2，…，n)，并在每一个上任取一点 ，由于密度函数为连续函数,故当的弧长都很小时，每一小段的质量可近似地等于 ,其中 为小曲线段的长度，于是在整个上的质量就近似地等于和式当对的分割越来越细密时,上述和式的极限就应是该物体的质量。

参考资料来源：百度百科-第一型曲线积分