51问答网 > 已知等差数列{a n }中，公差d＞0，其前n项和为S n ，且满足a 2 ?a 4 =45，a 1 +a 5 =14．（Ⅰ）求数列{a

已知等差数列{a n }中，公差d＞0，其前n项和为S n ，且满足a 2 ?a 4 =45，a 1 +a 5 =14．（Ⅰ）求数列{a

2025-04-06 11:41:16
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回答1：

（本小题10分）
（Ⅰ）因为数列{a n }是等差数列，
所以a 1 +a 5 =a 2 +a 4 =14．
因为d＞0，a 2 ?a 4 =45
所以解方程组可得，a 2 =5，a 4 =9．（2分）
所以a 1 =3，d=2．
所以a n =2n+1．
因为S n =na 1 +
1
2
n（n-1）d，
所以S n =n 2 +2n．
数列{a n }的通项公式a n =2n+1，前n项和公式S n =n 2 +2n．（4分）
（Ⅱ）因为b n =
1
a 2n
-1
（n∈N * ），a n =2n+1，
所以b n =
1
4n(n+1)
．
因为数列{c n }满足c 1 =-
1
4
，c n+1 -c n =
1
4n(n-1)
，
所以c n+1 -c n =
1
4
（
1
n
-
1
n+1
）．
c n -c n+1 =
1
4
（
1
n+1
-
1
n
）
…
c 2 -c 1 =
1
4
（1-
1
2
）
以上各式相加得：c n+1 -c 1 =
1
4
（1-
1
n+1
）=
n
4(n+1)
．
因为c 1 =
1
4
，
所以 c n+1 =-
1
4(n+1)
．
所以 c n =-
1
4n
．（7分）
（Ⅲ）因为f（n）=
n
9
-
b n
c n
，b n =
1
4n(n+1)
，c n =-
1
4n
，
所以f（n）=
n
9
+
1
n+1
．
因为f（n）=
n
9
+
1
n+1
=
n+1
9
+
1
n+1
-
1
9
，
所以
n+1
9
+
1
n+1
-
1
9
≥2
n+1
9
?
1
n+1
-
1
9

f（n）≥
2
3
-
1
9
=
5
9
，当且仅当
n+1
9
=
1
n+1
，即n=2时等号成立．
当n=2时，f（n）最小值为
5
9
．（10分）

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