求高手解答一题关于数学椭圆的动点问题!

2024-12-23 10:51:05
推荐回答(4个)
回答1:

1、c=√3,焦点在Y轴,a=1,b=2,方程为x^2+y^2/4=1,

参数方程为:x=cost,y=2sint,(0

设在椭圆上第一象限任意一点P(x0,y0),

根据隐函数求导,2x+2y*y’/4=0,y’=-2x/y,

在x=x0处,切线斜率为-2x0/y0,

切线方程为:y=-2x0*x/y0+(2x0^2+y0^2)/y0,

A坐标((4x0^2+y0^2)/4x0,0), 4x0^2+y0^2=4,

A(1/x0,0),

B点坐标(0, (4x0^2+y0^2)/y0), 4x0^2+y0^2=4,

B(0,4/y0),M(1/x0,4/y0),

设动点M(x,y),

根据椭圆参数方程,x0=cosθ,y0=2sinθ, 0<θ<π/2

 令x=1/x0,y=4/y0,

x0=cosθ,y0=2sinθ,

x=1/cosθ, cosθ=1/x,(1)

y=4/(2sinθ), sinθ=2/y,(2)

两式平方后相加,消去参数θ得:1/x^2+4/y^2=1.

2、应该是向量OM模的最小值,向量OM=(1/x0,4/y0),用椭圆参数方程替换,

(1/cost,4/2sint)=(1/cost,2/sint),

|OM|=√[1/(cost)^2+4/(sint)^2]

=√[(sect)^2+4(csct)^2]

=√[(tant)^2+1+4(cot)^2+4]

=√[5+(tant)^2+4(cot)^2]

在根号内根据均值不等式,

(tant)^2+4(cot)^2≥2√[(tant)^2*4(cot)^2]=4,

|OM|=√(5+4)=3。

最小值为3.

因为x,y是向量OM的两个分量,根据已知条件,向量OM=向量OA+向量OB,

而OA和OB分别和X轴和Y轴方向相同,故

|OM|=√(x^2+y^2).

注意应是向量的模,才仅有数量大小关系。

回答2:

好的。
第二问相当于找x^2+y^2再开根号的最小值,以下先找x^2+y^2的最小值。
过程如下:
由(1)可知y^2=4x^2/(x^2-1)
则x^2+y^2=x^2+4x^2/(x^2-1) (过程:通分后换元,令x^2=t(t>1),再分离变量)
=(t-1)+4/(t-1)+5 (利用均值定理)
≥9
当且仅当t=3时等号成立
所以向量OM的最小值为3
这个能看懂不?
你找的不是向量OM模的最小值吗?(向量是没有最值之说的,是模的最小值吧?)
设M的坐标为(x,y)且满足方程(1/x)^2+(2/y)^2=1
而向量OM模=x^2+y^2再开根号 所以是找这个的最小值。
第一问的过程用给你不?

回答3:

首先椭圆上一点(M,N)切线方程为MX/A2+NY/B2=1,故设该点位(M,N)则切线方程为X/(4/M)+Y/(1/N
)=1,故OM=(4/M,1/N)=根号下(16/M2+1/N2)有M2/4+N2=1代入消去N2既得,根号下(16/M2+4/(4-M2),由柯西不等式(应该会吧)既得3。

回答4:

不会