1、求积分∫1⼀根号下（1+e^2x）dx=? 2、求积分∫(cosx)^2⼀(sin2x)^2+2(cos2x)^2dx=?帮帮忙啊。

第一题：
令e^（2x）＝y，则：2x＝lny，∴x＝（1/2）lny，∴dx＝［1/（2y）］dy。
∴原式＝∫｛［1/√（1＋y）］［1/（2y）］｝dy＝（1/2）∫｛1/［y√（1＋y）］｝dy。
再令√（1＋y）＝z，则：y＝z^2－1，∴dy＝2zdz。
∴原式＝∫｛z/［（z^2－1）z］｝dz＝∫［1/（z^2－1）］dz
＝（1/2）∫［1/（z－1）］－［1/（z＋1）］dz
＝（1/2）∫［1/（z－1）］d（z－1）－（1/2）∫［1/（z＋1）］d（z＋1）
＝（1/2）ln（z－1）－（1/2）ln（z＋1）＋C
＝（1/2）ln［√（1＋y）－1］－（1/2）ln［√（1＋y）＋1］＋C
＝（1/2）ln｛√［1＋e^（2x）］－1｝－（1/2）ln｛√［1＋e^（2x）］＋1｝＋C

第二题：
原式＝（1/2）∫｛（cosx）^2/［（2－（sin2x）^2］｝d（2x）
＝（1/4）∫｛［2（cosx）^2－1＋1］/［（2－（sin2x）^2］｝d（2x）
＝（1/4）∫｛（cos2x＋1）/［（2－（sin2x）^2］｝d（2x）
＝（1/4）∫｛［cos2x/［（2－（sin2x）^2］｝d（2x）
　　＋（1/4）∫｛1/［（2－（sin2x）^2］｝d（2x）
＝（1/4）∫｛1/［2－（sin2x）^2］｝dsin2x＋（1/2）∫｛1/［（1＋（cos2x）^2］｝dx
＝（√2/16）∫［1/（√2＋sin2x）］dsin2x＋（√2/16）∫［1/（√2－sin2x）］dsin2x
　＋（1/2）∫｛1/［1＋（cos2x）^2］｝dx
＝（√2/16）∫［1/（√2＋sin2x）］d（√2＋sin2x）
　－（√2/16）∫［1/（√2－sin2x）］d（√2－sin2x）
　＋（1/2）∫｛1/［1＋（cos2x）^2］｝dx
＝（√2/16）［ln（√2＋sin2x）－ln（√2－sin2x）］
　＋（1/2）∫｛1/［1＋（cos2x）^2］｝dx

∵｛（1/√2）arctan［（1/√2）tan2x］｝′
＝（1/√2）｛1/［1＋（1/2）（tan2x）^2］｝［（1/√2）tan2x］｝′
＝｛1/［2＋（tan2x）^2］｝［1/（cos2x）^2］（2x）′
＝2/［2（cos2x）^2＋（sin2x）^2］
＝2/［1＋（cos2x）^2］

∴∫｛1/［1＋（cos2x）^2］｝dx＝（1/2）（1/√2）arctan［（1/√2）tan2x］＋C
＝（√2/4）arctan［（1/√2）tan2x］＋C
∴（1/2）∫｛1/［1＋（cos2x）^2］｝dx＝（√2/8）arctan［（1/√2）tan2x］＋C

∴原式＝（√2/16）［ln（√2＋sin2x）－ln（√2－sin2x）］＋（√2/8）arctan［（1/√2）tan2x］＋C

∫dx/√(1+e^2x)
e^2x=u 2x=lnu x=lnu/2 dx=du/(2u)
=∫du/2u(1+u)
=(1/2)∫du/(u*(1+u))
=(1/2)∫du/u-(1/2)∫du/(u+1)
=(1/2)ln[u/(u+1)] +C
u=e^2x
=(1/2)ln[(e^2x)/(1+e^2x)] +C

∫[(cosx)^2/(sin2x)^2+2(cos2x)^2] dx
=∫[(cosx/sin2x)^2+2cos(2x)^2 ] dx
=∫dx/(2sinx)^2 +∫(cos2x)^2d(2x)
=(1/4)∫[(cotx)^2+1]dx +∫(1/2)(1+cos4x)d(2x)
=(1/4)∫(cosx)^2dx/(sinx)^2+x/4 +x+(sin4x)/4
=(-1/4)∫cosxd(1/sinx)+5x/4+(sin4x)/4
=(-1/4)cosx/sinx+(1/4)∫(1/sinx)dcosx +5x/4+(sin4x)/4
=(-1/4)cosx/sinx-(1/4)x+5x/4+(sin4x)/4+C
=(-1/4)cosx/sinx+x+(sin4x)/4+C