求证1+1⼀3+1⼀5+.....+1⼀(2n+1)<ln(2n+1)

证明：
方法一：分析通项利用单调性证明
记f(x)=ln[(2+x)/(2-x)]-x/(2+x),0f'(x)=[4+6x]/[(2-x)(2+x)²]>0,f(x)↑
又f(x)可在x=0处连续则
f(x)>f(0)=0
即ln[(2+x)/(2-x)]>x/(2+x)
取1/n∈(0,1)替换x有
ln[(2n+1)/(2n-1)]>1/(2n+1)......(*)
将此不等式中的n依次从1取到n累加有
ln(3/1)+ln(5/3)+...+ln[(2n+1)/(2n-1)]>1/3+1/5+...+1/(2n+1)
即ln(2n+1)>1/3+1/5+...+1/(2n+1)
得证.
方法二：利用微分中值定理证明
对f(x)=ln(2x+1),在[n-1,n]上运用拉格朗日中值定理有
f(n)-f(n-1)=f'(θ)[n-(n-1)]=f'(θ),其中θ∈(n-1,n)
得到ln(2n+1)-ln(2n-1)=2/(2θ+1)>2/(2n+1)>1/(2n+1)
即ln[(2n+1)/(2n-1)]>1/(2n+1)
余下证法同上
方法三：对f(x)=1/(2x+1)在[n-1,n]运用积分中值定理
1/2ln[(2n+1)/(2n-1)]=∫(n-1,n)1/(2x+1)dx=1/(2θ+1)>1/(2n+1)
亦有ln[(2n+1)/(2n-1)]>1/(2n+1)
余下证法同上
方法四：数学归纳法略

【注：对于(*)式也可以命f(x)=x+ln(1-2x),0f(x)1/(2n+1)......(*)】

∫(1/x)dx(从1积到2n+1)=ln(2n+1)
∫(1/x)dx(从1积到2n+1)=∫(1/x)dx(1到2)+∫(1/x)dx(2到3)+∫(1/x)dx(3到4)+...+∫(1/x)dx(2n到2n+1)
x属于1到2时，1/x>=1/2
所以 ∫(1/x)dx(1到2)>1/2
同理
∫(1/x)dx(2到3)>1/3
∫(1/x)dx(3到4)>1/4
...
∫(1/x)dx(从1积到2n+1)>1/2+1/3+1/4+...+1/(2n+1)
而1/2+1/4+1/6+1/8>1
所以1+1/3+1/5+.....+1/(2n+1)可以自己画一下1/x的图便于理解

4.16