引力越大被引力影响的物体运动速度越大，那么这个速度有没有个极限？会不会超过光速呢？

不会。
如果距离很远收到的万有引力很小，如果很近加速的时间有比较短。而且，物体由于加速，速度越来越快，当达到与光速可比的时候，比如光速的40%左右，根据相对论物体的质量显著增大，所以要增大物体的速度将会越来越困难，最终物体的速度将会增加的非常缓慢，并且逐渐逼近光速，但是不会超过光速的

引力越大，不见得速度越大。物体受到的引力大，如果物体本身质量大的话，加速度可能小，速度变化可能就不大。
在你的推理过程中，引力越大，速度有没有极限。可以这样考虑，根据万有引力公式F=GmM/R^2。要想引力大，要么增加质量，要么减小距离。
如果增加质量，那么物体的加速度就小，速度变化就慢
如果减小距离，那么物体可以加速的空间就小。
两种情况下物体的速度都不可能达到很大。

而且光速最快是目前物理学研究的一致结论，目前还没被突破。任何物体的运动都不可能超过光速。

是加速度越大，理论上一直保持下去可达到光速，甚至超过

真空中的光速是宇宙中最快的速度

不可能得。无论是电动力学中麦克斯韦方程式，还是相对论，都证明了，后者更是明确的提出了，光速不变原理，以及光速是最快的速度。
无论你以任何参考系去观察光传播，光速都不变。
对于你所说的问题，当物体速度非常大时，经典物理学就不适应了。根据洛伦兹变换，速度达到C时，物体的质量将无限大。不可能存在无限大的物体，所以你的假设是不存在的。

理论上是没有极限的，理论上用太空中吸收的能量转换成太空船的加速度，会一直加速。到达光速。但目前没有超过光速的物体。黑洞的吸收的物体无法得知该物体的去向。同时速度达到一定程度上时，会产生空间的折叠，进行空间的跳跃。