如图,在△ABC中,BD、CE分别是AC、AB边上的高,且BE=CD。求证:AD=AE

如图所示，∵BD、CE分别是AB、AC边的高，

          ∴在直角三角形BCE和直角三角形BDC中,CE²=BC²-BE²,BD²=BC²-CD²；

           ∵BE=CD,由上式可知

           ∴CE=BD；

又∵BD、CE分别是AB、AC边的高

  ∴三角形ABC的面积=0.5*AB*CE；且三角形ABC的面积=0.5*AC*BD，且CE=BD；

  ∴AB=AC；

  ∵BE=CD，AE=AB-BE,AD=AC-CD;

    ∴AD=AE

故命题得证。

解：设CE与BD相交于点O，在△BEO和△COD中，因为∠EOB=∠COD（对顶角相等），∠CEB=∠CDB，BE=CD，所以△BEO≌△COD，所以，∠ABD=∠ACE，在△ABD和△ACE中，因为∠A=∠A，∠ADB＝∠AEC，∠ABD=∠ACE，所以△ABD≌△ACE，所以AD=AE

BD、CE相交于o点，
∠BOE=∠DOC
BE=CD
∠BEC=∠BDC=90°
△BOE≌△COD
所以OB=OC
又因为
BE=CD
BC=BC
∠BEC=∠BDC=90°
△BEC≌△CDB
所以BD=CE
故OD=OE
连接AO
则AO=AO
OD=OE
∠AEO=∠ADO=90°
△AEO≌△ADO
所以AE=AD

证明:
∵BE=CD,BC=BC
∴Rt△BCD≌Rt△BCE (HL)
∴∠B=∠C,BE=CD
∴AB=AC
∵AD=AC-CD
AE=AB-BE
∴ AD=AE

因BCDE四点共圆
连接ED则四边形BCDE是等腰梯形
AE/BE=AD/DC
因BE=CD
故AD=AE