线性代数问题：证明三条不同直线ax+by+c=0,bx+cy+a=0,cx+ay+b=0相较于一点的充分必要条件是a+b+c=0.

这是2003年考研数学一,二 中的一个类似题

你是初学者, 做这个题目可能不行

学过矩阵的秩没有?

1，充分性：将命题转化为三个方程式公共解的条件是a+b+c=0
则有将三个方程式相加得（a+b+c)x+（a+b+c)y+a+b+c=0
当a+b+c不为0时x+y+1=0代入1式方程有a=1,b=1c=1与2，3方程式是同一式，
又因为三条直线不相同，所以a+b+c=0
2，必要性：a+b+c=0则三个方程有同一解
将三个方程式相加得（a+b+c)x+（a+b+c)y+a+b+c=0
因为a+b+c=0等式两边成立，所以三个方程式有同解

综合1，2可证三条不同直线相交于一点的充分必要条件是a+b+c=0.

证明
(1)先证"必要性"
设三直线交于一点,即方程组
ax+by+cz=0
bx+cy+az=0
cx+ay+bz=0
有一解(x0 ,y0 ,1),即方程组有非零解,
由克莱姆法则知
矩阵
|a b c|
|b c a| =0
|c a b|
转化后
=(a+b+c)[(c-b)(b-c)-(a-c)(a-b)]
=(a+b+c)(ab+ac+bc-a2-b2-c2)
= - (a+b+c)/ 2[(a-b)2 +(b-c)2 +(a-c)2)]=0
当a=b=c时等号成立,这时与三直线互异矛盾.
故只能a+b+c=0 .
（2）再证"充分性":
当a+b+c=0时,
|a b c|
|b c a| =0
|c a b|

即ax+by+cz=0
bx+cy+az=0
cx+ay+bz=0
有非零解,不妨取(x0 ,y0 ,1),
所以三直线有交点,而三直线互异,故必有唯一交点.

学软件工程，数学和英语好会是很大的优势，所以建议你暑假的时候可以借几本大学的数学书（微积分，线性代数）翻一翻，最好是补补英语，因为大一新生刚来不