51问答网 > 设数列的前n项和为Sn=n(A1+An)⼀2,(n∈N*),证明{An}是等差数列。

设数列的前n项和为Sn=n(A1+An)⼀2,(n∈N*),证明{An}是等差数列。

2024-12-20 09:11:38

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回答1：

Sn=n(a1+an)/2
则an=Sn-S(n-1)=n(a1+an)/2-(n-1)(a1+a(n-1))/2
即2an=a1+n an-(n-1) a(n-1)
所以2an=a1+an+(n-1)(an-a(n-1))
an=a1+(n-1)(an-a(n-1))
把n换为n+1得：a(n+1)=a1+n(a(n+1)-an)
两式相减得：
a(n+1)-an=n(a(n+1)-an)-(n-1)(an-a(n-1)),
a(n+1)-an= n a(n+1)-(2n-1) an+(n-1) a(n-1),
所以(2n-2) an= (n-1) a(n+1) +(n-1) a(n-1),
2an=a(n+1)+a(n-1),
即a(n+1)- an= an -a(n-1),
所以该数列是等差数列。