关于n阶行列式：|A*|=|A|^(n-1)的证明

2025-03-09 09:51:49

推荐回答（4个）

回答1：

当R(A)即A*中所有元素均为0
A*=0
|A*|=0
所以可以说|A*|=|A|^(n-1)

当R(A)=n-1时，A中至少有一个n-1阶子式不等于0
所以A*≠0，那么R(A*)≥1
又因为AA*=|A|E=0
那么R(A)+R(A*)≤n
R(A*)≤1
所以R(A*)=1
因为A*不是满秩矩阵，所以|A*|=0
|A*|=|A|^(n-1)

回答2：

当 |A| = 0 时, 必有 |A*| = 0
否则, 若|A*|≠0, 则A*可逆.
由 AA* = |A|E = 0
等式两边右乘 (A*)^-1 得 A = 0
进而 A* = 0. 这与 |A*|≠0 矛盾.
故当 |A| = 0 时, 必有 |A*| = 0
此时仍有 |A*| = |A|^(n-1)

回答3：

A＾-1=A*/|A|
A*=|A|A^-1
|A*|=||A|A^-1|=|A|^(n-1)
|A|=0,A=0,这种矩阵没有伴随阵吧？

回答4：

|A|=0时，|A*|=0，还用证什么啊