【高中数学】若函数y=f(x)与y=g(x)的图象关于直线y=x对称

首先你要明白任何一点关于某一条直线的对称点怎么求，
就拿这道题来说，任意一点（a，b）关于直线y=x的对称点位（b，a），请你自己验证他们的连线与直线y=x对称，且中点在直线y=x上。有了这点知识准备就可以证明了。
在函数y=f(2x)图像上任意取一点（a，f（2a）），它关于，直线y=x的对称点是（f（2a），a）
需要证明该点在y=1/2g(x)的图像上，也就是证明（f（2a），a）满足方程y=1/2g(x)
即a=1/2g(f（2a）)，化简为2a=g（f（2a））
下面说明这个等式成立，任意取一点（c，f（c）），它关于直线y=x的对称点（f（c），c）在y=g（x）上，则有c=g（f（c）），由于对任意c这个等式成立，那么2a=g（f（2a））也成立。
到此为止，基本上完成了证明。下面我们再来理一下思路。
我们在y=f(2x)上任取一点关于直线y=x的对称点在y=1/2g(x)上，
同理你可以自己再证明在y=1/2g(x)上任取一点关于直线y=x的对称点在y=f(2x)上。这就完成了证明
特别说明两点。第一，书写的时候请理清思路，这是分析思路不是证明过程。
第二，只证明一半是不能说明，对称的。

[[[注∶关于直线y=x对称的两点P, Q,其坐标的关系为P(a,b),Q(b,a)]]]
证明:
[[1]]
∵两个函数y=f(x), y=g(x)的图像关于直线y=x对称.
∴若P(a,b)是函数y=f(x)图像上的任意一点,
则Q(b, a)就是函数y=g(x)图像上的一点.
且b=f(a), a=g(b).
[[2]]
现在,对于函数y=f(2x)与y=g(x)/2来说
若点M(a/2, b)是函数y=f(2x)图像上的任意一点,
则必有b=f[2(a/2)]=f(a),即b=f(a)
∴点(a, b)是函数y=f(x)图像上的一点.
由题设可知,点(b,a)是函数y=g(x)图像上的一点,
∴a=g(b), 即有a/2=g(b)/2
这就是说,点(b. a/2)是函数y=g(x)/2图像上的一点.
上面的推理就是:
若点(a/2, b)是函数y=f(x)图像上的一点,
则(b,a/2)就是函数y=g(x)/2图像上的一点.
而两点(a/2, b)与(b, a/2)关于直线y=x对称.
∴两个函数y=f(2x), y=g(x)/2的图像关于直线y=x对称.

y=f(x)的图像相当与y=g(x)的横，纵坐标换一下位置，只需要随便取两个参数（A,B）设这个坐标在y=f(x)图像上，（A,B）关于y=x对称的坐标是（B,A），则坐标（B,A）在y=g(x)上。
这是已知条件要写出来，
然后设（2A,B）在y=f(x)上，从而可知道（B,2A）在y=g(x)上，
所以当函数y=f(2x)，y=1/2g(x)，这只是证明了这个命题的必要性。
要证明充分性就已知y=f(2x)与y=1/2g(x)，
当B=f(2A)时，2A=g(B),
（2A,B）在y=f(x)上,（B,2A）在y=g(x)上，
俩个函数的坐标关于y=x对称，
就可以证明这一题的结论了。

很简单，这里说的就是对数函数的反函数，把对数函数列进去就行了用字母表示。还有可以用点到直线的距离相等，就是到直线x=y一样可以证明出来，我个人建议用后者证明，原因是后者具有普遍性

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