如何运用柯西中值定理？

虽然说Cauchy中值定理是Lagrange中值定理的推广，可是你观察它们的最常见证明方法可以发现，它们都可以通过Rolle定理独立证明，不过是构造的辅助函数不同而已。而事实上，用Lagrange中值定理显然可以推出Rolle定理。可以归结出这样的推导关系：Rolle定理→Cauchy中值定理（Lagrange中值定理）→Lagrange中值定理→Rolle定理。因此它们在逻辑上是等价的，不过用于解决问题时的简繁程度不同。你要相信，所有用Cauchy中值定理可以解决的问题，用Rolle定理也可以解决，不过思路可能复杂一些。
如，设b＞a＞0，f(x)在[a,b]连续、(a,b)可导，证明有c∈(a,b)，使得2c[f(b)-f(a)]=(b^2-a^2)f'(c)。
证：参考Cauchy中值定理的标准形式，令g(x)=x^2即可。注意这里b＞a＞0保证了g’(x)＝2x≠0以及b^2-a^2≠0。
上面这道题当然非常简单（就是直接套公式）。它还可以通过构造函数F(x)=(b^2-a^2)f(x)-[f(b)-f(a)]x^2来证明。这时F(a)=f(a)b^2-f(b)a^2=h(b)，那么由Rolle定理知存在c∈(a,b)使得h’(c)=0，这就是要证明的。这个解法不过是套用了Cauchy中值定理证明过程。
公式的作用就是节省人们的思考或计算的时间，但这需要对公式熟练运用。最重要的是观察。像上面这道简单的例题一类的存在性问题，很容易看出端倪的，关键就在于观察哪个东西跟公式里的g(x)比较像（看g(x)和g’(x)）。常见的函数，lnx，e^(x)甚至e^(h(x))等。另外，有可能一些不等式问题的中间过程要用到Cauchy中值定理（之后进行一定程度的放缩），你应该可以想到。至于你提到的极值问题，我不知道是什么意思。
微分中值定理（Lagrange、Cauchy）对于一元微分学体系的发展和完善有重要的意义，其意义是理论上的。平时题目考察的只是对公式的变形使用。两个词，观察和熟练度。我认为你看一看【用Cauchy中值定理证明洛必达法则】的过程会对理解有帮助。我觉得这是Cauchy中值定理除了几何解释外另一个很美妙的地方。