在数列{an}中,已知a1=2,a(n+1)=2an⼀(an+1),求数列{an}通项公式.

1)
a(n+1)=2an/(an+1)
1/a(n+1)=1/2(1+1/an)
1/a(n+1)-1=1/2(1/an-1)
所以 ｛1/an-1｝是 首项为 -1/2，公比为 1/2 的等比数列，
故 1/an-1=-(1/2)^n
所以 an=1/[1-(1/2)^n]=2^n/(2^n-1)

2)
ai(ai-1)=2^i/(2^i-1)^2=1/(2^i+1/2^i-2)
由于 a1(a1-1)+a2(a2-1)=2+4/9=22/9
且当 i>=3时，ai(ai-1)=2^i/(2^i-1)^2=1/(2^i+1/2^i-2)<=1/(2^i-2)<=1/2^(i-1)
所以 ∑(i=3 to n) ai(ai-1)<=1/4+1/8+..+1/2^(n-1)<=1/2

因此，∑(i=1 to n) ai(ai-1)<=22/9+1/2=53/18<3

对a(n+1)=2an/(an+1)两边同取倒数
2/a(n+1)=1/an+1
再给上式两边同乘以2^n,可得2^(n+1)/a(n+1)=2^n/an+2^n
令b(n+1)=2^(n+1)/a(n+1),则bn=2^n/an那么有：b(n+1)-bn=2^n,b1=2^1/a1=1
所以：bn-b(n-1)=2^(n-1)
b(n-1)-b(n-2)=2^(n-2)
………………
b2-b1=2
根据累加法：bn-b1=2+……2^(n-2)+2^(n-1)
这样bn=1+2+……2^(n-2)+2^(n-1)=1(1-2^n)/(1-2)=2^n-1
即有：2^n/an=2^n-1那么an=2^n/(2^n-1)

ai（ai--1）=2^n/(2^n-1)[2^n/(2^n-1)-1]=2^n/(2^n-1)[1/(2^n-1)]=2^n/(2^n-1)^2>0
两边倒数：1/[ai（ai--1）]=(2^n-1)^2/2^n=[2^(2n)-2*2^n+1]/2^n=2^n+1/2^n-2
然后根据等比数列求和方缩即可证。

1.因为a(n+1)=2an/(an+1)
左边右边都成倒数。1/a(n+1)=(an+1)/2an=1/2+1/2an
所以（我怀疑你题目有没有少抄一个2）没有的话告诉我。我继续做。

1)令bn=1/an， 则b1=1/2,
因为a(n+1)=2an/(an+1),
所以b(n+1)=bn/2+1/2,
即b(n+1)-1=(bn-1)/2 {若b(n+1)=abn+b,则b(n+1)-b/(1-a)=a[bn-b/(1-a)]}
所以{bn-1}是以-1/2为首项，以1/2为公比的等比数列，bn-1=-(1/2)^n
所以bn=1-(1/2)^n
即an=1/bn=2^n/(2^n-1)

2)ai(ai-1)=2^i/(2^i-1)^2=1/(2^i+1/2^i-2)
由于 a1(a1-1)+a2(a2-1)=2+4/9=22/9
且当 i>=3时，ai(ai-1)=2^i/(2^i-1)^2=1/(2^i+1/2^i-2)<=1/(2^i-2)<=1/2^(i-1)
所以 ∑(i=3 to n) ai(ai-1)<=1/4+1/8+..+1/2^(n-1)<=1/2
因此，∑(i=1 to n) ai(ai-1)<=22/9+1/2=53/18<3