51问答网 > 【考研数学】已知f(x)在【a,b】上满足微分方程y✀✀-(1-x^2)y✀-y=0且f(a)=f(b)=0，证明f(x)≡0

【考研数学】已知f(x)在【a,b】上满足微分方程y✀✀-(1-x^2)y✀-y=0且f(a)=f(b)=0，证明f(x)≡0

2024-11-25 04:22:53

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回答1：

用反证法证明：假设f(x)不恒为0，由连续函数最大值，最小值定理可知，必存在最大值f(x1),最小值f(x2)，不妨设最大值和最小值都不为0，则f(x1)>0,f(x2)<0，因为f(x)在[a,b]中处处可导，而端点f(a),f(b)又不是最大值，所以f(x1)为极大值，f(x2)为极小值。所以f'(x1)=0，f''(x1)<0，f'(x2)=0，f''(x2)>0，将x1,x2点带入微分方程，y''(x1)-(1-x1^2)y'(x1)-y(x1)=y''(x1)-0-y(x1)=y''(x1)-y(x1)<0与已知矛盾，同理y''(x2)-(1-x2^2)y'(x2)-y(x2)=y''(x2)-0-y(x2)=y''(x2)-y(x2)>0与已知矛盾.所以f(x))≡0.
当在最大值和最小值有一个为0时，同理证明，提问者可以自己试试。