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有理数：有理数分为正有理数，负有理数，0。有理数都可以化为小数，其中整数可以看作小数点后面是零的小数，只要是无限循环小数的都叫有理数。如：3.12121212121212……

无理数：无限不循环小数。无理数应满足三个条件：①是小数；②是无限小数；③不循环．圆周率π=3.141592653……

复数：形如a＋bi的数。式中a，b为实数，i是一个满足i2＝－1的数，因为任何实数的平方不等于－1，所以i不是实数，而是实数以外的新的数。在复数a＋bi中，a称为复数的实部，b称为复数的虚部，i称为虚数单位。当虚部等于零时，这个复数就是实数；当虚部不等于零时，这个复数称为虚数，虚数的实部如果等于零，则称为纯虚数。由上可知，复数集包含了实数集，因而是实数集的扩张。

实数：有理数和无理数统称为实数

整数：整数包括正整数,负整数和0.
如正整数:1、2、3．．．．．．
负整数：－1、－2、－3．．．．．．

自然数：自然数，就是人们数数时产生的数（如“有3个苹果”），所以用来表示物体个数的数叫做自然数。一个物体也没有，当然可以用“0”来表示，所以“0”也是自然数。

有理数的运算技巧

有理数及其运算，是整个初中学习数学的基础，对于有理数的混合运算，我们要善于观察问题的结构特征，选择合理的运算路径，灵活使用运算律，可以简化计算，提高解题的速度和能力。运算中常采用的技巧如下：

一. 灵活运用运算律

例1. 计算： 。

分析：利用加法的交换律、结合律把同分母的数结合在一起，可以减少运算量。

解 原式=
= 。

例2. 计算： 。

分析：多个因数相乘时，积的符号的确定是关键，利用乘法的交换律与结合律，把易于约分的先相乘，提高解题的速度。

解 原式= 。

二. 逆用运算律

例3. 计算： 。

分析：本题每项含有 ，因此可逆向运用分配律来计算。

解 原式=
= 。

三. 倒序相加

例4. 计算： 。（桂林市中考题）

分析：直接计算繁琐，可从后两项开始，逐步计算。

解 原式=
=
=
=
= 。

四. 凑数法

例5. 计算： 。（“信利杯”竞赛题）

分析：直接计算繁琐，观察其特征，发现每个数加2都是 ，所以把各项凑成10的倍数计算。

解 原式=
=
= 。

五. 拆项法

例6. 计算： 。（天津市竞赛题）

分析：通分来解显然行不通，可采用拆项法。

解 原式=
= 。

六. 错位相减法

例7. 计算： 。

分析：考虑到后一项与前一项的比都是3，所以可采用错位相减法。

解 设 ，则 。

所以 ，即原式 。

七.用字母代替数

例8. 计算： 。

解 设1997=a，则

原式

。

八.分解相消

例9. 计算： 。（北京市竞赛题）

分析：此题满足平方差公式 ，所以可用因式分解来简便运算。

解 原式

。

练习

计算：

（1）
（2）
（3）
（4） 。

［参考答案］

（1） ；（2） ；（3） ；（4） 。

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