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已知数列{an},a1=1,a(n+1)=an^2+an+1,求an

2024-12-13 03:44:13

推荐回答（2个）

回答1：

见过一个类似题目，供参考：
数列{an}中，a1=1/2, a(n+1)=an^2+an,
求证：1/(a1+1)+1/(a2+1)+......+1/(an+1)<2
【证明】
a(n+1)=an(an+1),
取倒数，1/ a(n+1)=1/[ an(an+1)],
右边裂项得：1/ a(n+1)=1/an-1/(an +1)
1/(an +1)= 1/an-1/ a(n+1)

S=1/(a1+1)+1/(a2+1)+......+1/(an+1)
=(1/a1-1/a2)+ (1/a2-1/a3)+ (1/a3-1/a3)+……+(1/an-1/ a(n+1))
=1/a1-1/ a(n+1)
又a1=1/2，an递增，
所以S=2-1/ a(n+1)<2.

回答2：

a(n+1)a(n)=a(n+1)-a(n)
两边同时除以a(n+1)a(n)，得：
1/a(n)-1/a(n+1)=1
1/a(n+1)-1/a(n)=-1
所以{1/a(n+1)}是以-1为公差的等差数列
1/a(n+1)-1/a(n)=-1
1/a(n)-1/a(n-1)=-1
...
1/a(2)-1/a(1)=-1
将以上n个式子两边相加得：
1/a(n+1)-1/a(1)=-n
1/a(n+1)+1=-n
a(n+1)=-1/(n+1)
所以
a(n)=-1/n

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