见过一个类似题目，供参考：
数列{an}中，a1=1/2, a(n+1)=an^2+an,
求证：1/(a1+1)+1/(a2+1)+......+1/(an+1)<2
【证明】
a(n+1)=an(an+1),
取倒数，1/ a(n+1)=1/[ an(an+1)],
右边裂项得：1/ a(n+1)=1/an-1/(an +1)
1/(an +1)= 1/an-1/ a(n+1)
S=1/(a1+1)+1/(a2+1)+......+1/(an+1)
=(1/a1-1/a2)+ (1/a2-1/a3)+ (1/a3-1/a3)+……+(1/an-1/ a(n+1))
=1/a1-1/ a(n+1)
又a1=1/2，an递增，
所以S=2-1/ a(n+1)<2.