高一一道数学题

证明：要证 a^(m+n)+b^(m+n)≥（a^m）（b^n）+（a^n）（b^m）
只要证 a^m（a^n-b^n）-b^m（a^n-b^n）≥0 （先拆开再移到左边合并）
只要证(a^m-b^m)(a^n-b^n)≥0
分类讨论a b m n 大小，就可以了

利用a1*b1 + a2 *b2 - ( a2*b1 + a1*b2) = ( a1 - a2 )( b1 - b2 )
带入a1=a^m；b1=a^n；a2=b^m；b2=b^n
等式左边就是a1*b1 + a2 *b2 记为A（同序和）
等式右边就是a2*b1 + a1 *b2 记为B（反序和）

显然A-B= ( a1 - a2 )( b1 - b2 )

讨论下：
假如a>b 必有a^X>b^X (X>0)
那么必定a1>a2 b1>b2(其实这时候满足排序不等式的条件)
显然A-B>0
a此时A-B还是大于0的；
a=b的时候A=B

于是A≥B是成立的；

有关资料可以参考一下排序不等式
反序和≤乱序和≤同序和

因为a＞0.b＞0.m＞0,n＞0
设a>b,则
所以，a^m>b^m,a^n>b^n
(a^m-b^m)>0,(a^n-b^n)>0
(a^m-b^m)(a^n-b^n)>0
设a所以，a^m(a^m-b^m)<0,(a^n-b^n)<0
(a^m-b^m)(a^n-b^n)>0
当a=b时
a^m=b^m,a^n=b^n
(a^m-b^m)(a^n-b^n)=0
所以
a^(m+n)+b^(m+n)-(a^mb^n+a^nb^m)≥0
a^(m+n)+b^(m+n)≥a^mb^n+a^nb^m