高中数学不等式

Let a,b,c be positive real numbers satisfying a^2+b^2+c^2+abc<=4, prove that a^2*b+b^2*c+c^2*a<=a^2+b^2+c^2

证明：
显然，对于满足 a^2+b^2+c^2+abc<=4 的任何正数 a,b,c，均存在 x,y,z>0 及 0此时不等式变为
t(x^2*y+y^2*z+z^2*x)<=x^2+y^2+z^2,
由 00 且 x^2+y^2+z^2+xyz=4 时
x^2*y+y^2*z+z^2*x<=x^2+y^2+z^2.
注意到三角恒等式 (cosA)^2+(cosB)^2+(cosC)^2+2cosAcosBcosC=1 可变形为
(2cosA)^2+(2cosB)^2+(2cosC)^2+(2cosA)(2cosB)(2cosC)=4,
可见只要证明在锐角三角形 ABC 中的如下不等式
2((cosA)^2*cosB+(cosB)^2*cosC+(cosC)^2*cosA)<=(cosA)^2+(cosB)^2+(cosC)^2.
而这正是当嵌入不等式
u^2+v^2+w^2>=2(uvcosA+vwcosB+wucosC)
取 u=cosA, v=cosB, w=cosC 时的不等式，所以原不等式成立。

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