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数列极限。怎么证明证明√2，√(2+√2)＇√[2+√(2+√2)]....的极限是2？？

2024-12-27 09:39:06

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回答1：

完整过程如下：

证明：设数列为{An}，显然A（n+1）=√（2+An）＞0
①：有界。数学归纳法A1＜2，设Ak＜2，则A（k+1）=√（2+Ak）＜√（2+2）=2成立
故0＜An＜2，有界；
②：单调。A（n+1）=√（2+An）＞√（An+An）=√2An＞An
故A（n+1）＞An，单调增；
由①②，根据单调有界数列极限判定准则，知该数列极限存在，设为A，等式两侧同取极限：
√（2+A）=A。解出x是2或者-1（＜0，舍去，此处用到了极限保号性）。
因此极限就是2.

证明极限存在才是这个题的关键。

回答2：

设极限是x。√（2+x）=x。解出x是2或者-1。显然-1不满足条件。
因此极限就是2.

回答3：

an+1=√2+an.如果极限存在，两边同时取极限。于是x^2=2+x,x=-1或者x=2，显然，负数要舍弃