51问答网 > 设A、B都是n阶正交矩阵，并且已知detA+detB=0，证明：det（A+B)=0

设A、B都是n阶正交矩阵，并且已知detA+detB=0，证明：det（A+B)=0

2025-02-27 20:41:39

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回答1：

由正交矩阵的性质, 不妨设det(A)=1, det(B)=-1.
又det(A) * det(A+B) = det(A) * det(A[T]+B[T]) = det(I+AB[T]) ①
det(B) * det(A+B) = det(B) * det(A[T]+B[T]) = det(BA[T]+I) = det(I+AB[T]) ②
所以由①②，得[ det(A)-det(B) ] * det(A+B) = 0.
又det(A) - det(B) = 2, 所以det(A+B)=0. 证毕

回答2：

注意，先明确两个重要结论。
1、对于正交矩阵，其它其特征值只能为1或者-1
2、对于正交矩阵，其它其行列式只能为1或者-1

用这两个结论可以证明结论。
见参考资料