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证明:1⼀ 2平方+1⼀ 3平方+...+1⼀ n平方<1(n为正整数且n大于或等于2)

2024-12-26 03:39:24

推荐回答（3个）

回答1：

（1/2)^2<1/2;(1/3)^2<1/﹙2×3﹚;(1/4)^2<1/﹙3×4﹚……1/n^2<1／(n-1)n
1/2=1－1／2,1/﹙2×3﹚=1/2－1/3;1/﹙3×4﹚=1/3－1/4……1／(n-1)n =1/(n-1)-1/n
所以原式<1－1/2+1/2-1/3+1/3-1/4＋……－1/(n-1)-1/n=1－1/n(n为正整数且n大于或等于2)
所以1－1/n＜1
所以原式<1

回答2：

1/2^2<1/(1×2）=1/1-1/2
1/3^2<1/(2×3)=1/2-1/3
1/4^2<1/(3×4)=1/3-1/4
·
·
·
1/n^2<1/[n×(n-1)]=1/(n-1)-1/n
叠加得到
1/2^2+1/3^2+……1/n^2<1-1/n<1

回答3：

（1/2)^2<1/2;(1/3)^2<1/6;(1/4)^2<1/12……
所以可知原式<1/2+1/6+1/12……1/n（n-1）=1/2+1/2-1/3+1/3-1/4……1/(n-1)-1/n=1-1/n<1