没有签订合同在知道自己权利被侵害之日起1年内提起劳动仲裁有效。不过你现在可以要求单位现在和你签订劳动合同,要是不签,你就可以去劳动仲裁,并且提出最近一年的双倍赔偿金,若要是你辞职不干了,单位还需要赔偿你从06年至今的补偿金即五个月工资。
之前入职时你的入职档案手续在哪?是该单位还是当地人力资源与社会保障局?应该不存在你这种情况的。如果你不是事业编,那就是合同聘用制。建议还是先和单位领导反映,再去社保局咨询。