2011初三二模门头沟数学试题及答案

2011年门头沟区初三年级第二次统一练习
数 学 试 卷
考生须知 1．本试卷共6页，共五道大题，25道小题，满分120分。考试时间120分钟。
2．在试卷和答题卡的密封线内准确填写学校、班级和姓名。
3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答。
5．考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回。
一、选择题（本题共32分，每小题4分）
下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．
1．2的倒数是
A． B．2 C． D．
2．一种细胞的直径约为0.00000156米．将0.00000156用科学记数法表示应为
A． B． C． D．
3．两圆的半径分别为5cm和2cm，圆心距为7cm，则这两圆的位置关系是
A．内切 B．外切 C．外离 D．内含
4．右图所示的是一个几何体的三视图，则这个
几何体是
A．长方体 B．正方体
C．圆柱体 D．三棱柱
5．已知一组数据1，4，5，2，3，则这组数据的极差和方差分别是
A．4，2 B．4，3 C．2，3 D．1，5
6．若圆锥侧面展开图的扇形面积为65cm2，扇形的弧长为10cm，则圆锥的母线长是
A．5cm B．10cm C．12cm D．13cm
7．桌面上有三张背面相同的卡片，正面分别写有数字1、2、3．先将卡片背面朝上洗匀，
然后从中同时抽取两张，则抽到的两张卡片上的数字之积为奇数的概率是
A． B． C． D．
8．如图，正方形的边长为2，动点从点出发，
在正方形的边上沿着的方向运动（点与
不重合). 设点的运动路程为, 则下列图象中，表
示△的面积与的函数关系的是

二、填空题（本题共16分，每小题4分）
9．在函数中，自变量x的取值范围是 ．
10．如图，在△ABC中，DE∥BC，AD=3，BD=6，AE=4，
则EC的长是 ．
11．已知一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数是 ．
12．如图，在矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿
BE折叠后得到△GBE，且点G在矩形ABCD的内部，
延长BG交DC于点F．若DC=2DF，则 ；
若DC=nDF，则 （用含n的式子表示）．

三、解答题（本题共30分，每小题5分）
13．计算：．

14．解不等式组 并求它的正整数解.
　　
15．已知：如图，DB∥AC，且，E是AC的中点．
求证：BC=DE．

16．已知，求的值.

17．列方程或方程组解应用题：
为了提高产品的附加值，某公司计划将研发生产的1200件新产品进行精加工后再投放市场.现有甲、乙两个工厂都具备加工能力，公司派出相关人员分别到这两个工厂了解情况，获得如下信息：
信息一：甲工厂单独加工完成这批产品比乙工厂单独加工完成这批产品多用10天；
信息二：乙工厂每天加工产品的数量是甲工厂每天加工产品数量的1.5倍.
根据以上信息，求甲、乙两个工厂每天分别能加工多少件新产品？

18．已知二次函数的图象与x轴有且只有一个公共点.
（1）求m的值；
（2）若此二次函数图象的顶点为A，与y轴的交点为B，求A、B两点的坐标；
（3）若、是二次函数图象上的两点，且，请你直接写出n的取值范围.

四、解答题（本题共20分，每小题5分）
19．如图，在梯形ABCD中，AD//BC，BD⊥CD，∠C=60°，
AD=，BC=，求AB的长．

20．已知：如图，的直径AB与弦CD相交于点E，，的切线BF与弦AD的延长线相交于点F．
（1）求证：；
（2）连结BC，若的半径为4，，
求线段AD、CD的长．

21．某校初三年级的学生积极参加“博爱在京城”的募捐活动. 小明把本年级学生400人的捐款情况进行了统计，并绘制成了如下不完整的频数分布表和频数分布直方图.

分组/元 频数 频率
10≤x＜20 40 0.10
20≤x＜30 80 0.20
30≤x＜40 0.40
40≤x＜50 100
50≤x＜60 20 0.05
合 计 400 1.00

请你根据以上图表提供的信息，解答下列问题：
（1）补全频数分布表和频数分布直方图；
（2）捐款金额的中位数落在哪个组内？
（3）若该校共有学生1600人，请你估计该校学生捐款金额不低于40元的有多少人？

22．如图1，有一张菱形纸片ABCD，AC＝8，BD＝6．
（1）若沿着AC剪开，把它分成两部分，把剪开
的两部分拼成一个平行四边形，请在图2中
用实线画出你所拼成的平行四边形，并直接
写出这个平行四边形的面积；
（2）若沿着BD剪开，把它分成两部分，把剪开
的两部分拼成一个平行四边形，请在图3中
用实线画出你所拼成的平行四边形，并直接
写出这个平行四边形的周长；
（3）沿着一条直线剪开，把它分成两部分，把剪开的两部分拼成与上述两种都不全等的平行四边形，请在图4中用实线画出你所拼成的平行四边形．
（注：上述所画的平行四边形都不能与原菱形全等）

五、解答题（本题共22分，第23、24题各7分，第25题8分）
23．已知抛物线y＝ax 2＋bx－4a经过A(－1，0)、C(0，4)两点，与x轴交于另一点B．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点D(m，m＋1)在第一象限的抛物线上, 求点D关于直线BC对称的点的坐标；
（3）在（2）的条件下，连结BD，若点P为抛物线上一点，且∠DBP＝45°，求点P的坐标．

24．已知在△ABC和△DBE中，AB＝AC，DB＝DE，且∠BAC＝∠BDE．
（1）如图1，若∠BAC＝∠BDE＝60°，则线段CE与AD之间的数量关系是 ；
（2）如图2，若∠BAC＝∠BDE＝120°，且点D在线段AB上，则线段CE与AD之 间的数量关系是__________________；
（3）如图3，若∠BAC＝∠BDE＝，请你探究线段CE与AD之间的数量关系（用含的式子表示），并证明你的结论．

25．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB与x轴交于点A， 与y轴交于点B， 且
OA = 3，AB = 5．点P从点O出发沿OA以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，到达点A后立刻以原来的速度沿AO返回；点Q从点A出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动．伴随着P、Q的运动，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于点D，交折线QB－BO－OP于点E．点P、Q同时出发，当点Q到达点B时停止运动，点P也随之停止．设点P、Q运动的时间是t秒（t＞0）．
（1）求直线AB的解析式；
（2）在点P从O向A运动的过程中，求△APQ的面
积S与t之间的函数关系式（不必写出t的取值
范围）；
（3）在点E从B向O运动的过程中，四边形QBED
能否成为直角梯形？若能，请求出t的值；若不
能，请说明理由；
（4）当DE经过点O时，请你直接写出t的值．

2011年门头沟区初三年级第二次统一练习
数学试卷评分参考

一、选择题（本题共32分，每小题4分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A B B C A D C D
二、填空题（本题共16分，每小题4分）
题号 9 10 11 12
答案 x≥2 8 六
三、解答题（本题共30分，每小题5分）
13．计算： ．
解：
4分
． 5分
14．解不等式组 并求它的正整数解.
解：
由①，得x≥－2． 1分
由②，得x＜3． 2分
不等式组的解集在数轴上表示如下：

3分
所以原不等式组的解集为－2≤x＜3． 4分
所以原不等式组的正整数解为1，2． 5分

15． 证明：∵E是AC的中点,
∴EC=AC．…………………………………………………………………… 1分
∵,
∴DB = EC． ……………………………………2分
∵DB∥AC，
∴DB∥EC．……………………………………… 3分
∴四边形DBCE是平行四边形． ……………… 4分
∴BC=DE． ……………………………………… 5分
16．解：
= 2分
=
= ． 3分
当时，. 4分
原式==－6. 5分

17．解：设甲工厂每天加工x件新产品，则乙工厂每天加工1.5x件新产品. ………………1分
依题意,得 …………………………………………………………3分
解得x=40. …………………………………………………………………………4分
经检验，是所列方程的解，且符合实际问题的意义．
当x=40时，1.5x=60．
答：甲、乙两个工厂每天分别能加工新产品40件、60件. ………………………………5分
18. 解：（1）根据题意，得△=.
解得. ……………………………………………………………………1分
（2）当时，.
二次函数图象的顶点A的坐标为（－1，0）， ………………………………2分
与y轴的交点B的坐标为（0，1）. …………………………………………3分
（3）n的取值范围是或. ………………………………………………5分
四、解答题（本题共20分，每小题5分）
19. 解：如图，分别过点A、D作AE⊥BC于点E ，DF⊥BC于点F． ……………………1分
∴ AE // DF．
又∵ AD // BC，
∴ 四边形AEFD是矩形．
∴ EF=AD=． …………………………………………………………………… 2分
∵ BD⊥CD，∠C=60°，BC=，
∴ DC=BC·cos60°=．
∴ CF=DC·cos60°=．
∴ AE=DF= DC·sin60°=． …………………………………………… 3分
∴． ………………………………………………………… 4分
在Rt△ABE中，∠AEB=90°，
∴ AB=． ………………………………………… 5分
20．解：（1）由直径平分，
可证． 1分
与相切，是的直径，
． 2分
． 3分
（2）连结.
是的直径，
.
在中，
，，
． 4分
在中，
，
∴ DE=．
由直径平分，
可求． 5分

21．解：（1）补全频数分布表和频数分布直方图. …………………………3分 （每个1分）
（2）捐款金额的中位数落在30≤＜40这个组内． ………………………………4分
（3）该校学生捐款数额不低于40元的有（人）． ……………5分
22．解：（1）画出图形、面积为24． ………………………………………………2分（每个1分）
（2）画出图形、周长为22． ……………………………………………4分（每个1分）
（3）画出图形（答案不唯一）． ……………………………………………5分

五、解答题（本题共22分，第23、24题各7分，第25题8分）
23．解：（1）抛物线经过，两点，

解得………………………………………………………………………1分
抛物线的解析式为． ………………………………………2分
（2）点在抛物线上，.
∴. 或．
点D在第一象限，舍去．
点D的坐标为． …………………………………………………………3分
抛物线与轴的另一交点的坐标为，，
∴．
设点关于直线的对称点为点．
，
．
∴E点在轴上，且．
∴OE＝1.
． ………………………………………………………………………4分
即点关于直线对称的点的坐标为（0，1）．
（3）过点作的垂线交直线于点，过点作轴于，过点作于．
∴.．
．
，，
．
. ，．
．………………………………………………………………………5分
设直线的解析式为.
由点，点，求得直线的解析式为．…………6分
解方程组
得 （舍）
点的坐标为． ……………………………………………………7分

24．解：（1）CE= AD． …………………………………………………………………………2分
（2）CE=AD． ……………………………………………………………………4分
（3）CE与AD之间的数量关系是 .
证明：∵AB＝AC，DB＝DE，
∴
∵∠BAC＝∠BDE，
∴△ABC∽△DBE．
∴
∴
∴△ABD∽△CBE．…………………………………………………………5分
∴
过点D作DF⊥BE于点F .
∴
∴ …………………………6分
∴
∴．…………………………………………………………7分
25．解：（1）在Rt△AOB中，OA = 3，AB = 5，由勾股定理得.
∴A（3，0），B（0，4）．
设直线AB的解析式为.
∴ 解得
∴直线AB的解析式为．………………………………………………1分
（2）如图，过点Q作QF⊥AO于点F.
∵ AQ = OP= t，∴．
由△AQF∽△ABO，得．
∴．∴． …………2分
∴，
∴．………………………3分
（3）四边形QBED能成为直角梯形．
①如图，当DE∥QB时，
∵DE⊥PQ，
∴PQ⊥QB，四边形QBED是直角梯形．
此时∠AQP=90°．
由△APQ ∽△ABO，得.
∴．
解得． ……………………………5分
②如图，当PQ∥BO时，
∵DE⊥PQ，
∴DE⊥BO，四边形QBED是直角梯形．
此时∠APQ =90°．
由△AQP ∽△ABO，得
即．
解得． ………………………6分
（4）或． ………………………8分