1.如图，直线 与 轴， 轴分别相交于点 ，点 ，经过 两点的抛物线 与 轴的另一交点为 ，顶点为 ，且对称轴是直线 ．
（1）求 点的坐标；
（2）求该抛物线的函数表达式；
（3）连结 ．请问在 轴上是否存在点 ，使得以点 为顶点的三角形与 相似，若存在，请求出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
[解] 直线 与 轴相交于点 ， 当 时， ，
点 的坐标为 ． 又 抛物线过 轴上的 两点，
且对称轴为 ，根据抛物线的对称性， 点 的坐标为 ．
（2） 过点 ，易知 ， ．
又 抛物线 过点 ，
解得 ．
（3）连结 ，由 ，得 ，
设抛物线的对称轴交 轴于点 ，在 中， ，
．由点 易得 ，
在等腰直角三角形 中， ，由勾股定理，得 ．
假设在 轴上存在点 ，使得以点 为顶点的三角形与 相似．
①当 ， 时， ．
即 ， ，又 ， 点 与点 重合， 的坐标是 ．
②当 ， 时， ．
即 ， ． ，
的坐标是 ．
．
点 不可能在 点右侧的 轴上
综上所述，在 轴上存在两点 ，能使得以点 为顶点的三角形与 相似。
2.（河南卷）二次函数 的图象如图所示，过 轴上一点 的直线与抛物线交于 ， 两点，过点 ， 分别作 轴的垂线，垂足分别为 ， ．
（1）当点 的横坐标为 时，求点 的坐标；
（2）在（1）的情况下，分别过点 ， 作 轴于 ， 轴于 ，在 上是否存在点 ，使 为直角．若存在，求点 的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）当点 在抛物线上运动时（点 与点 不重合），求 的值．
[解] （1）根据题意，设点 的坐标为 ，其中 ． 点 的横坐标为 ， ． 轴， 轴， ， ， ， ． ． ．即 ．
解得 （舍去）， ． ．
（2）存在．
连结 ， ．
由（1）， ， ， ．设 ，则 ．
轴， 轴， ， ．
． ．解得 ．经检验 均为原方程的解．
点 的坐标为 或 ．
（3）根据题意，设 ， ，不妨设 ， ．
由（1）知 ，
则 或 ．
化简，得 ．
，
．
．
3. (湖北湛江课改卷）已知抛物线 与 轴相交于点 ， ，且 是方程 的两个实数根，点 为抛物线与 轴的交点．
（1）求 的值
（2）分别求出直线 和 的解析式；
（3）若动直线 与线段 分别相交于 两点，则在 轴上是否存在点 ，使得 为等腰直角三角形？若存在，求出点 的坐标；
[解] （1）由 ，得 ．
，把 两点的坐标分别代入 联立求解，得
．
（2）由（1）可得 ， 当 时， ， ．
设 ，把 两点坐标分别代入 ，联立求得
． 直线 的解析式为 ．
同理可求得直线 的解析式是 ．
（3）假设存在满足条件的点 ，并设直线 与 轴的交点为 ．
①当 为腰时，分别过点 作 轴于 ，作 轴于 ，如图，则 和 都是等腰直角三角形，
，
．
， ，
，即 ．解得 ．
点 的纵坐标是 ， 点 在直线 上，
，解得 ， ．
，同理可求 ．
②当 为底边时，
过 的中点 作 轴于点 ，如图，
则 ，
由 ，
得 ，即 ，解得 ．
同1方法．求得 ，
， ．
结合图形可知， ，
， 是 ， 也满足条件．
综上所述，满足条件的点 共有3个，即
4.在矩形 中， ， ，以 为坐标原点， 所在的直线为 轴，建立直角坐标系．然后将矩形 绕点 逆时针旋转，使点 落在 轴的 点上，则 和 点依次落在第二象限的 点上和 轴的 点上（如图）．
（1）求经过 三点的二次函数解析式；
（2）设直线 与（1）的二次函数图象相交于另一点 ，试求四边形 的周长．
（3）设 为（1）的二次函数图象上的一点， ，求 点的坐标．
（1）解：由题意可知， ， ．
， ， ．
设经过 三点的二次函数解析式是 ．
把 代入之，求得 ． 3分
所求的二次函数解析式是：
．
（2）解：由题意可知，四边形 为矩形．
，且 ．
直线 与二次函数图象的交点 的坐标为 ，
．
与 与 关于抛物线的对称轴对称，
．
四边形 的周长
．
（3）设 交 轴于 ． ，
，即
，于是 ．
设直线 的解析式为 ．
把 ， 代入之，
得 解得 ．
组成方程组
解得 或 （此组数为 点坐标）
所求的 点坐标为 ．
2008年全国中考数学压轴题精选精析（二）
14.（08江苏常州）（本题答案暂缺）28.如图,抛物线 与x轴分别相交于点B、O,它的顶点为A,连接AB,把AB所的直线沿y轴向上平移,使它经过原点O,得到直线l,设P是直线l上一动点.
(1) 求点A的坐标;
(2) 以点A、B、O、P为顶点的四边形中,有菱形、等腰梯形、直角梯形,请分别直接写出这些特殊四边形的顶点P的坐标;
(3) 设以点A、B、O、P为顶点的四边形的面积为S,点P的横坐标为x,当 时,求x的取值范围.
13.（08江苏淮安）（本题答案暂缺）28．(本小题14分)
如图所示，在平面直角坐标系中．二次函数y=a(x-2)2-1图象的顶点为P，与x轴交点为 A、B，与y轴交点为C．连结BP并延长交y轴于点D.
(1)写出点P的坐标；
(2)连结AP，如果△APB为等腰直角三角形，求a的值及点C、D的坐标；
(3)在(2)的条件下，连结BC、AC、AD，点E(0，b)在线段CD(端点C、D除外)上,将△BCD绕点E逆时针方向旋转90°，得到一个新三角形．设该三角形与△ACD重叠部分的面积为S，根据不同情况，分别用含b的代数式表示S．选择其中一种情况给出解答过程，其它情况直接写出结果；判断当b为何值时,重叠部分的面积最大?写出最大值．
14.（08江苏连云港）24．（本小题满分14分）
如图，现有两块全等的直角三角形纸板Ⅰ，Ⅱ，它们两直角边的长分别为1和2．将它们分别放置于平面直角坐标系中的 ， 处，直角边 在 轴上．一直尺从上方紧靠两纸板放置，让纸板Ⅰ沿直尺边缘平行移动．当纸板Ⅰ移动至 处时，设 与 分别交于点 ，与 轴分别交于点 ．
（1）求直线 所对应的函数关系式；
（2）当点 是线段 （端点除外）上的动点时，试探究：
①点 到 轴的距离 与线段 的长是否总相等？请说明理由；
②两块纸板重叠部分（图中的阴影部分）的面积 是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及 取最大值时点 的坐标；若不存在，请说明理由．
内容全部来源于网络收集，如有侵权，请联系网站删除：QQ：24596024