已知f(x)是二次函数,不等式f(x)<0的解集是(0,6)且f(x)在区间[-1,4]上的最大值是12，求f(x)解析式

因为不等式f(x)＜0的解集是(0,6)
所以f(x)=0有两根x=0或x=6
故可设f(x)=ax(x-6) (a＞0)
对称轴是x=(0+6)/2=3
f(x)在区间[-1,4]上的最大值是12
所以f(x)肯定在离对称轴最远处取的最大值
即f(-1)=-a(-1-6)=7a=12
故a=12/7

所以f(x)=12x(x-6)/7

已知f(x)是二次函数,不等式f(x)<0的解集是(0,6),意味着f(x)=ax(x-6)(因为0和6是两个根)，显然a>0
由于f(x)在区间[-1,4]上的最大值是12
所以f(-1)=-a(-1-6)=12
所以a=12/7
所以f(x)=12x(x-6)/6

f(x)<0的解集是(0,6)，这样f（x）可以写成f（x）=ax（x-6）=ax^2-6ax，其中a>0。f（x）的对称轴为x=3，此时f（x）在[-1,4]上最小值为f（3），最大值为f（-1）=a+6a=7a=12（-1离对称轴最远），a=12/7。代回原式得f（x）=12/7x（x-6）。

画个图，因为不等式的解集是（0,6）所以二次函数是开口向上的，在0到6之间小于0，就是说在x=0和6时为0.
可以得出对称轴为x=3， 设函数为y=k（x-3）²+b，把x=0，y=0带入得： y=k（x-3）²-9k
所以x＜3时，y单调递减，所以区间【-1,4】上最大值是x=-1时，y=12，带入函数得：k=12/7，函数得： y=12/7(x-3)²-108/7

f(x)<0的解集是(0,6)，可得f(x)=ax(x-6)=a(x²-6x+9-9)=a[(x-3)²-9]
可画出图像得区间[-1,4]上的最大值f(-1)=7a=12 a=12/7