由xn→A(n→∞)，可知数列{xn}有界，即存在正数M，使得
|xn|≤M
且对任意给定的ε>0，存在正整数N₁，当n>
N₁时，有
|xn-A|<ε
|(x₁+x₂+...+xn)/n-A|
=1/n*|
x₁+x₂+...+xn
–n*A|
=1/n*|(
x₁+x₂+...+x{N₁}-N₁*A)
+(x{N₁+1}-A)+
(x{N₁+2}-A)+...+
(xn-A)
|
≤1/n*(|
x₁|+|
x₂|+...+|x{N₁}
|+
N₁*|A|)+
1/n*(|
x{
N₁+1}-A
|+|
x{
N₁+2}-A
|+...+|
xn-A
|)
≤1/n*(
N₁*
M+
N₁*A)
+
1/n*(n-
N₁)*ε
<
N₁/n(M+A)+ε
取N₂=[N₁/ε]，N=max{
N₁,
N₂}，则当n>N时
|(x₁+x₂+...+xn)/n-A|<(M+A)*ε+ε=(M+A+1)*ε
故有lim{n→∞}(x₁+x₂+...+xn)/n=A
注：当n>N时，n>
N₂，即n≥[N₁/ε]+1>
N₁/ε，因此N₁/n<ε
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