利用柯西不等式证明

柯西不等式：对向量x,y。有|| <= |x||y| 当且仅当x=y时取等 其中就是向量x点乘y（又叫内积，标量积，数量积等）。
ps:传说中所谓的“积和方<=方和积”其实就是上面这个。

记向量x=(a,b,c) y=(b,c,a)
则 = ab+bc+ca
|x|=(a^2+b^2+c^2)^0.5 |y|=(b^2+c^2+a^2)^0.5
所以 || <= |x||y|
就是|ab+bc+ca| <= [(a^2+b^2+c^2)^0.5][(b^2+c^2+a^2)^0.5]=a²+b²+c²
因为是正数，所以绝对值符号可以直接去掉。即a²+b²+c²≥ab+bc+ca
取等为（a,b,c)=(b,c,a) <=> a=b,b=c,c=a <=> a=b=c
ps:上面是三维向量的坐标运算，就是高中学的二维向量坐标运算的推广。

附录：
1.柯西不等的直观说明：
= |x||y|cosa a为夹角
所以显然有|| <= |x||y|

2.从1代入坐标运算就有“积和方<=方和积”
即令x=(x1,x2) y=(y1,y2) 用二维的说明，可以推广到高维
|| = |x1y1+x2y2|
|x||y|=[(x1)^2+(x2)^2]^0.5 [(y1)^2+(y2)^2]^0.5
|| <= |x||y| 则 |x1y1+x2y2| ^2 <=(x1)^2+(x2)^2][(y1)^2+(y2)^2] （即“积和方<=方和积”）

3.柯西—施瓦兹严格的证明（在实内积空间上的证明）
= + 2a + a^2 >= 0
所以把a看成未知数，右边一元二次函数开口向上，所以德尔塔要小于等于0
即 4^2-4 <= 0
所以有|| <= |x||y|

4.在复内积空间上的证明（略）
方法同上，主要有一个 = 的共扼。

ps:希望对你对柯西不等式的认识有帮助

全部打开，不能直接用柯西不等式
（a²+b²)+[(1/a)²+(1/b)²]≥17/2
首先（a²+b²)（1+1）≥（a+b)²=1
推出（a²+b²)≥1/2
现在只需要证明(1/a)²+(1/b)²≥8
用两次柯西不等式(1+1)[(1/a)²+(1/b)²]≥(1/a+1/b)²
有(1/a+1/b)(a+b)≥(1+1)²=4
反推回去，可以得到(1/a)²+(1/b)²≥8
得证！！
希望对你有启示，一定要沿着取等号的条件a=b=1/2用柯西

非得用柯西不等式证明吗？a²+b²+c²≥ab+bc+ca两边同乘以2，化为（a-b）^2+(b-c)^2+(a-c)^2≥0，当且仅当a=b=c时取“=”号

用柯西不等式也行，(a²+b²+c²)(b²+c²+c²)≥(ab+bc+ca)²
其实上面的方法更简单，我只是提供一种用柯西的一种方式
希望对你有启示