实反对称矩阵的特征值只能为零或纯虚数怎么证

设A为n阶实反对称矩阵，r为A的特征值，x为A对应r的特征列向量

A*x=r*x

(x的共轭转置矩阵)*A*x=r*(x的共轭转置矩阵)*x……①

因为x非零，所以(x的共轭转置矩阵)*x是一个正数，记为X

将①式两边分别作共轭转置，因为A实反对称，所以A的共轭转置矩阵=-A

(x的共轭转置矩阵)*(-A)*x=(r的共轭)*X

-(x的共轭转置矩阵)*A*x=(r的共轭)*X……②

将①②两式相加， (r+r的共轭)*X=0

因为X>0，所以r+r的共轭=0

即r=0或r是纯虚数

扩展资料

实反对称矩阵有如下性质：

性质1：奇数阶反对称矩阵的行列式值为0。

性质2：当A为n阶实反对称矩阵时， 有XTAX =0。

性质3：实反对称矩阵的特征值是零或纯虚数。

性质4：若A为实反对称矩阵，A的特征值λ= bi(b≠0)所对应特征向量α+βi中实部与虚部对应的向量α、β相互正交。

性质5：若A为n阶实反对称矩阵，则存在n阶正交矩阵Γ。

设A为n阶实反对称矩阵，r为A的特征值，x为A对应r的特征列向量
A*x=r*x

(x的共轭转置矩阵)*A*x=r*(x的共轭转置矩阵)*x……①
因为x非零，所以(x的共轭转置矩阵)*x是一个正数，记为X
将①式两边分别作共轭转置，因为A实反对称，所以A的共轭转置矩阵=-A
(x的共轭转置矩阵)*(-A)*x=(r的共轭)*X
-(x的共轭转置矩阵)*A*x=(r的共轭)*X……②
将①②两式相加， (r+r的共轭)*X=0
因为X>0，所以r+r的共轭=0
即r=0或r是纯虚数