51问答网 > （1）定理：若函数f（x）的图象在区间[a，b]上连续，且在（a，b）内可导，则至少存在一点ξ∈（a，b），

（1）定理：若函数f（x）的图象在区间[a，b]上连续，且在（a，b）内可导，则至少存在一点ξ∈（a，b），

2025-02-23 06:45:33

推荐回答（1个）

回答1：

证明：①f（x）=lnx，f′（ξ）=

1

ξ

，x＜ξ＜y               …（1分）
（注1：只要构造出函数f（x）=lnx即给1分）
故lny-lnx=

y-x

ξ

，又

y-x

y

＜

y-x

ξ

＜

y-x

x

…（*）    …（2分）
即1-

y

x

＜lny-lnx＜

y

x

-1（0＜x＜y）  …（3分）
②证明：由（*）式可得

2-1

2

＜ln2-ln1＜

2-1

1

，

3-2

2

＜ln3-ln2＜

3-2

2

，
…

n-(n-1)

n

＜lnn-ln（n-1）＜

n-(n-1)

n-1

，…（6分）
上述不等式相加，得

n

k-2

1

k

＜lnn＜

n-1

k-1

1

k

（n＞1）…（8分）
（注：能给出叠加式中的任何一个即给（1分），能给出一般式

n-(n-1)

n

＜lnn-ln（n-1）＜

n-(n-1)

n-1

，给出2分）
（2）下证当n≥3时，等式f（x）-f（y）=f′（

x+y

2

）（x-y）不恒成立．
（注：能猜出n≥3时等式不恒成立即给1分）
当n=1时，f（x）-f（y）=f′（

x+y

2

）（x-y）显然成立．…（9分）
当n=2时，f（x）-f（y）=x² -y² =2（

x+y

2

）（x-y）=f′（

x+y

2

）（x-y）．…（10分）
下证当n≥3时，等式f（x）-f（y）=f′（

x+y

2

）（x-y）不恒成立．
不妨设x=2，y=0，则已知条件化为：2^n-1 =n．                         …（11分）
当n≥3时，2^n-1 =（1+1）^n-1 =

C 0n-1

+

C 1n-1

+…+

C n-1n-1

≥2+

C 1n-1

=n+1＞n，…（13分）
因此，n≥3时方程2^n-1 =n无解．
故n的所有可能值为1和2．…（14分）