绕通过直径的旋转的薄圆环的转动惯量的推导过程

2025-03-17 07:44:15

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回答1：

通过圆环中心轴，
首先要理解什么是薄圆环，所谓薄圆环指的是径向厚度趋近于零，也就是内径和外径无限接近。
也就是内外径近似可以看做一个定值：R
则：沿圆周的线密度：ρ=m/2πR
沿圆周的方向取Δθ,
由：J=mR^2
则有：ΔJ=R^2dm
dm=(m/2πR)Rdθ
故有：dJ=R^2dm=R^2(m/2πR)Rdθ=(R^2m/2π)dθ
两边积分，积分区间[0，2π]：J=2π（R^2m/2π）=R^2m
通过圆环直径轴。
取角度为：θ处的任意小的角度：Δθ，θ为转轴与直径的夹角。
则有：dJ=（Rcosθ）^2dm=（Rcosθ）^2(m/2πR)Rdθ=R^2（cos2θ+1）^2mdθ/4π
两边积分，积分区间为：[0，2π]：J=(mR^2sin2θ)/2+mR^2/2=0+mR^2/2=mR^2/2

回答2：

薄圆环的质量全部集中在圆环上面，根据转动惯例的计算公式 J=∫ r²dm，积分上下限为0→R，计算可得 J=R²∫ dm=mR²

回答3：

1/3的薄圆环对中心轴线的转转动惯量，怎么求？我先谢谢你了。