51问答网 > 设数列{an}前项和为Sn,满足Sn=n(a1+an)⼀2,证明数列{an}是等差数列.

设数列{an}前项和为Sn,满足Sn=n(a1+an)⼀2,证明数列{an}是等差数列.

2024-12-16 23:22:57

推荐回答（4个）

回答1：

证明：an=Sn-Sn-1(n≥2)=n(a1+an)/2-(n-1)(a1+an-1)/2=[n*(an-an-1)+a1+an-1]/2
整理得(n-1)(an-an-1)=an-a1
则n(an+1 -an)=an+1-a1
两式相减得(n-1)an+1-2(n-1)an+(n-1)an-1=0
化简得2an=an+1+an命题得证

回答2：

设d=a2-a1,
用数学归纳法证明 an=a1+(n-1)d
1) a2=a1+d 成立
2) 假设n=k时 ak=a1+(k-1)d
利用 Sk=k(a1+ak)/2,
S{k+1}=(k+1)(a1+a{k+1})/2,
以及a{k+1}=S{k+1}-Sk,
整理得 a{k+1} = a1 + kd

回答3：

用an=Sn-S(n-1)化简至an-a(n-1)为常数即可

回答4：

这不就是一个数学公式吗？原本Sn=n(a1+an)/2...