用两种方法证明韦达定理

方法一：

令方程的两根分别是x1、x2.显然有：

ax1^2＋bx1＋c＝0、ax2^2＋bx2＋c＝0.两式相减,得：

a（x1^2－x2^2）＋b（x1－x2）＝0,∴a（x1－x2）（x1＋x2）＋b（x1－x2）＝0,

∴（x1－x2）［a（x1＋x2）＋b］＝0.

很明显,x1、x2不一定相等,∴需要：a（x1＋x2）＋b＝0,得：x1＋x2＝－b/a.

方法二：

由ax1^2＋bx1＋c＝0、ax2^2＋bx2＋c＝0相加,得：

a（x1^2＋x2^2）＋b（x1＋x2）＋2c＝0,

∴a［（x1＋x2）^2－2x1x2］＋b（x1＋x2）＋2c＝0,

∴a［（－b/a）^2－2x1x2］＋b（－b/a）＋2c＝0,

∴b^2/a－2ax1x2－b^2/a＋2c＝0,∴ax1x2＝c,∴x1x2＝c/a.

∴若一元二次方程ax^2＋bx＋c＝0的两根为x1、x2,则：x1＋x2＝－b/a、x1x2＝c/a.

韦达定理说明了一元二次方程中根和系数之间的关系。

法国数学家弗朗索瓦·韦达于1615年在著作《论方程的识别与订正》中建立了方程根与系数的关系，提出了这条定理。 由于韦达最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系，人们把这个关系称为韦达定理。

定理定义：

历史是有趣的，法国数学家韦达在16世纪就得出这个定理，证明这个定理要依靠代数基本定理而代数基本定理却是在1799年才由高斯作出第一个实质性的论证。
代数基本定理：
设f(x)=x[sup]n[/sup]+a[sub]1[/sub]x[sup]n-1[/sup]+…+a[sub]n[/sub]..............(1)
是一个给定的n次多项式，它的系数a[sub]1[/sub]，a[sub]2[/sub]，…，a[sub]n[/sub]是实数或复数，那么方程f(x)=0至少有一个实数或复数根。
[注]：该定理的证明要用到复变函数的相关知识。
有了代数基本定理，我们就可以把n次多项式f(x)分解成一次因式的连乘积，即
f(x)=(x-x[sub]1[/sub])(x-x[sub]2[/sub])…(x-x[sub]n[/sub]).........(2)
这里x[sub]1[/sub]，x[sub]2[/sub]，…，x[sub]n[/sub]是实数或复数，事实上也就是方程f(x)=0的n个根。
我们把（2）式乘开，并与（1）比较一下系数就得到了n次方程的韦达公式。
建议：取n=3、4，自己把（2）式乘开与（1）比较系数，这样你会得到更直观的理解。

这个是对于N次方程的韦达定理证明