要知道定积分的上下限,是被积函数自变量的变化范围。
原来的定积分的上下限,是原来定积分被积函数自变量的变化范围。
换元后新的定积分上下限,当然就是新的定积分被积函数自变量的变化范围。
即换元后,新的变量的变化范围。
那么这个新的范围怎么确定呢?
通过原来自变量的上下限去计算。
根据换元的公式,原来的上限算出来的新变量的值就是新的上限,原来下限算出来的新变量的值就是新的下限。
例如原来的定积分是上限为5,下限为0,原来的自变量是x
换元是t=5-x,那么新的上限就是根据t上限=5-x上限=5-5=0
新的下限就是t下限=5-x下限=5-0=5
所以新的上限是0,下限是5
就是这样转换过来的。
∫f(x)dx区间-a~0 令x=-t
-∫f(-t)dt区间a~0然后积分上下换限提符号 有得分∫f(-t)dt区间0~a 于是有∫f(-x)dx区间0~a
积分换上下限要提符号得出蓝色那一步
重点是f(-x)dx=f(-t)dt 如果是f(-x)dx和f(-t)dx就不等了(注意,我说的是值相等)
注意积分上下线的值是指积分变量的值 就是d后面的函数
也就是说∫f(-t)dt区间0~a 中t取值区间0~a 同样∫f(-x)dx区间0~a中x取值区间0~a
积分变量取值相同 被积函数相同 那么定积分怎么可能不相同呢?
“原题是设x=-t
若依你举的例题,y=f(x)=x+1,则有
y=f(x) = x+1 = -t+1
与Y=f(t)=t+1是一样的吗?”
作函数看的话不相等 因为函数的三要素都不同
是说函数值的话 如果定义域相同这两个函数值就不等 但是在定义域相反的情况下y=Y
y= -t+1 与Y=x+1你可以看作y=α+1与y=β+1
积分为∫α+1dα ∫β+1dβ
在积分中只要α和β的取值范围相同 这两个积分的值就是一样的
只要解决第一问就行了吧,后面很好推,其实这两个一样的,就像F(X)=X+1和F(T)=T+1,这两个函数是一样的,只是换了个变量。