第22届希望杯初一第二试解答题第一、二、三题的答案及过程是什么？

一.80km/h 设甲速为xkm/h,已速为ykm/h,甲第一次提速zkm/h

240/y-1=200/x

480/x+z=400/x

480/x+50=400/x+z+5

解得：x=100,y=80,z=20

二.∵∠E=∠EFD,∠E=30º∴∠EFD=30º∵∠E+∠EFD+∠EDF=180º∴∠EDF=∠CDB=120º

∵∠C+∠CDB+∠CBD=180º,∠C=45º∴∠CBD=15º,15º即所求。

三略

我做出来了。
第一题
设甲速x，乙速y，甲加速了z
列一组有三个方程的方程组（按题意）
将x换成z

第二十二届”希望杯”全国数学邀请赛 初一 第2试简答
一、选择题
1. B， 2. A， 3. D， 4. C， 5. C， 6. D， 7. B， 8. A， 9. D， 10. C，
二、填空题
11. -1， 12. 90， 13. 1023456798， 14. 7， 15. ， 16. ， 17. 12， 18. ， 19. 150， 20. 501；400， 21. 80千米/时。 22. 15°，60°。
23.
[证法1] 设矩形的长、宽和对角线长分别为a，b，c且a，b，c都是整数，则根据勾股定理知
a2+b2=c2，我们只需证明a，b，c中必有一个能被3整除，也必有一个能被4整除。
(1) 先证“a，b中必有一个能被3整除”。
若a，b都不是3的倍数，则a2与b2必被3除余1，则c2必被3除余2，但完全平
方数被3除只能余0或1，故矛盾。所以a，b中必有3的倍数，即ab为3的倍数。
(2) 再证“a，b中必有一个能被4整除”。
将a2+b2=c2中的a，b，c的公约数约去，得x2+y2=z2，其中x，y，z两两互质。我
们只需证明“x，y中必有一个能被4整除”即可。首先x，y不能全是奇数，因为，
若x，y均为奇数，则x2与y2必都被4除余1，于是z2必被4除余2，但完全平方
数被4除只能余0或1，故矛盾。所以x，y不能全是奇数。因为x，y互质，所以，
x，y也不能全是偶数，因此x，y只能是一奇一偶，不妨设x=2p+1，y=2m (其中p，
m均为整数)，此时z是奇数，设z=2q+1 (q为整数)，代入y2=z2-x2中，得
4m2=(2q+1)2-(2p+1)2=4(q2+q-p2-p)，即m2=q(q+1)-p(p+1)，因为q(q+1)与p(p+1)都
是两个连续整数的乘积，所以q(q+1)与p(p+1)都能被2整除，于是m2为偶数，因
此m为偶数，设m=2n (n为整数)，则y=2n=2´2m=4m，于是y能被4整除。
综上，a，b中必有一个能被3整除，也必有一个能被4整除。又因为(3，4)=1，所以
a´b能被12整除，即这个矩形的面积必为12的倍数。
[证法2] 设a，b都不是4的倍数，则a，b均为奇数；或a，b中的一个为奇数，另一个为被4
除余2的数；或a，b都是被4除余2的数。
(1) 若a，b均为奇数，则a2与b2必被4除余1，则c2必被4除余2，但完全平方数被
4除只能余0或1，矛盾。
(2) 若a，b中一个是奇数，另一个是被4除余2的数；不妨设a=2k+1，b=2(2m+1) (其
中k，m均为整数)，则a2=4k2+4k+1=4k(k+1)+1。因为连续整数之积k(k+1)能被2
整除，所以a2被8除余1，而b2=22(2m+1)2=16m(m+1)+4，于是b2被32除余4，所
以a2+b2被8除余5，即c2被8除也余5，但完全平方数被8除只能余0或1或4，
矛盾。
(3) 若a，b都是被4除余2的数。设a=2(2k+1)，b=2(2m+1) (其中k，m均为整数)，
则由a2+b2=c2知c2为偶数，于是c为偶数，设c=2n，则a2+b2=(2n)2=4n2，即
22(2k+1)2+22(2m+1)2=4n2，约去公因子4，得(2k+1)2+(2m+1)2=4n2，变成两个奇数平
方和的情形，根据(1)得出矛盾。
综上，假设“a，b都不是4的倍数”不成立，所以“a，b中必有一个能被4整除”成立。
因为(3，4)=1，所以a´b能被12整除。即这个矩形的面积必为12的倍数

1 不会，我列了四元一次方程解不开 2 15度因为小三角形是等腰三角形所以两个角都是三十度又根据三角形内角和180度，对顶角相等，所以等于180-120-45=15 3 用勾股定理先画个正方形连对角线又因都为整数所以长宽设3n，4n面积为3n*4n=12n平方所以能被12整除

第二题：15度

1、80，列方程求解很好做的
2、15度。
3、根据勾股定理，长、宽只比只可能是3：4货12：5，再就很好做了。难在有一个12：5很多人漏了。我也是后面才听人讲的。