51问答网 > 已知函数f（x）= x+ 1 x ．（1）判断f（x）的奇偶性并说明理由；（2）判断f（x）在（0，1]上的

已知函数f（x）= x+ 1 x ．（1）判断f（x）的奇偶性并说明理由；（2）判断f（x）在（0，1]上的

2025-03-24 04:30:16

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回答1：

（1）奇函数
定义域为（-∞，0）∪（0，+∞）关于原点对称
又∵f（-x）= -x+

1

-x

=-(x+

1

x

)=-f(x)
∴函数f（x）= x+

1

x

为（-∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数
（2）f（x）在（0，1]上的单调递减
0＜x₁ ＜x₂ ≤1，则0＜x₁ x₂ ＜1，x₁ -x₂ ＜0
∴ f( x 1 )-f( x 2 )=( x 1 - x 2 )+(

1

x 1

-

1

x 2

)
= ( x 1 - x 2 )+(

x 2 - x 1

x 1 x 2

) =

( x 1 - x 2 )( x 1 x 2 -1)

x 1 x 2

＞0
即f（x₁ ）＞f（x₂ ）
所以f（x）在（0，1]上的是单调递减函数