51问答网 > 已知函数f（x）=ln（ax+1）+2x+1-1（x≥0，a＞0）．（Ⅰ）若f（x）在x=2处取得极值，求a的值；（Ⅱ）求f

已知函数f（x）=ln（ax+1）+2x+1-1（x≥0，a＞0）．（Ⅰ）若f（x）在x=2处取得极值，求a的值；（Ⅱ）求f

2025-02-28 00:13:25

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回答1：

（I）∵f（x）=ln（ax+1）+

2

x+1

-1，∴f′（x）=

a

ax+1

-

2

(x+1)2

=

a(x+1)2?2(ax+1)

(ax+1)(x+1)2

=

ax2+a?2

(ax+1)(x+1)2

由f（x）在x=2处取得极值，得f′（2）=0，即5a-2=0，
∴a＝

2

5

；
（II）∵f′（x）=

ax2+a?2

(ax+1)(x+1)2

（其中a＞0，且x≥0），
若a≥2，x≥0时，得f′（x）＞0
即f（x）在[0，+∞）上是增函数，
若0＜a＜2时，令f′（x）=0，有x=

2?a

a

，或x=-

2?a

a

（舍去）

x （0，

2?a

a

）

2?a

a

（