证明利用函数单调性证明
法1
记f(x)=ln(1+x)-(1/2)(x-1)-ln2,0<逗游x≤1
求导f'(x)=1/亩迟(1+x)-1/2=(1-x)/[2(x+1)]>0,0
我们取b/a[∈(0,1)]替换上式x得ln[((b/a)+1)/迅指李2]<(1/2)[(b/a)-1]
整理
即ln(a+b)-ln(2a)<(b-a)/(2a),(a>b>0)命题得证
法2
记f(x)=ln(b+x)-ln(2x)-(b-x)/2x,x>b>0
求导易得f'(x)=[b(b-x)]/[2(b+x)x²]<0,x>b>0
知f(x)在x>b>0上单调递减，又f(x)可在x=b处连续
则f(x)
整理即ln(b+x)-ln(2x)<(b-x)/2x,x>b>0
再取a(>b)替换上式x则有
ln(a+b)-ln(2a)<(b-a)/(2a),(a>b>0)命题得证。
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