椭圆x^2⼀a^2 +y^2⼀b^2 =1(a>b>0)过它的左焦点F且斜率为1的直线交椭圆于AB两点，AF:FB=(9+2√2)：7 求离心

椭圆x^2/a^2 +y^2/b^2 =1(a>b>0)过它的左焦点F且斜率为1的直线交椭圆于AB两点，AF:FB=(9+4√2)：7 求离心率。
解：介绍其他的做法
一、用余弦定理
左焦点F1（-c，0）右焦点F2（c，0）
连接AF2，BF2
设AF1=x，则AF2=2a-x
∠AF1F2=45度
根据余弦定理
cos45=[x²+4c²-(2a-x)²]/(2*x*2c)
化简：x=2(c²-a²)/(√2c-2a)
同理设BF1=y，则AF2=2a-y
∠AF1F2=135度
根据余弦定理
cos135=[y²+4c²-(2a-y)²]/(2*y*2c)
化简：y=2(a²-c²)/(√2c+2a)
根据题意x/y=(9+4√2)/7
即(2a+√2c)/(2a-√2c)=(9+4√2)/7
14a+7√2c=18a-9√2c+8√2a-8c
16√2c+8c=4a+8√2a
8(2√2+1)c=4(2√2+1)a
e=c/a=1/2
二、用向量做
设A（x1，y1）B（x2，y2）
直线AB：x=y-c椭圆方程：x²/a²+y²/b²=1即b²x²+a²y²=a²b²
整理：(a²+b²)y²-2b²cy-b^4=0
△=4b^4c²+4b^4(a²+b²)=4b^4(a²+b²+c²)=8a²b^4
y=(2b²c±2ab²√2)/2(a²+b²)
y1=(b²c+ab²√2)/(a²+b²)
y2=(b²c-ab²√2)/(a²+b²)
向量AF（-c-x1，-y1）向量FB（x2+c，y2）
AF/FB=-y1/y2=-[(b²c+ab²√2)/(a²+b²)]/[(b²c-ab²√2)/(a²+b²)]=(c+√2a)/(√2a-c)
根据题意
(√2a+c)/(√2a-c)=(9+4√2)/7
7√2a+7c=9√2a-9c+8a-4√2c
16c+4√2c=8a+2√2a
4(4+√2)c=2(4+√2)a
e=c/a=1/2

以左焦点F为极点,长轴为极轴建立极坐标,设极角为θ，则cosθ=√2/2
|AF|=ep/(1-√2e/2)
|FB|=ep/(1+√2e/2)
两式相除，
(1+√2e/2)/(1-√2e/2)=(9+2√2)/7
解得e=(1+√2)/(4√2+1)