以下是试卷和答案，希望能帮到你！
南通市2011届高三第一次调研测试
数 学
A． 必做题部分
一、填空题：本大题共14小题．每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应的位置上．
1．若集合M={－1，1}， ，则 ▲ ．
2．已知射手甲射击一次，命中9环以上（含9环）的概率为0.5，命中8环的概率为0.2，命中7环的概率为0.1，则甲射击一次，命中6环以下（含6环）
的概率为 ▲ ．
3．设 （i为虚数单位），则 ▲ ．
4．根据右图的算法，输出的结果是 ▲ ．
5．某校对全校1200名男女学生进行健康调查，采用分层抽样法
抽取一个容量为200的样本，已知女生抽了85人，则该校的男生数是 ▲ 人．
6．若“ ”是 “ ”的必要不充分条件，则 的最大值为 ▲ ．
7．设a，b为空间的两条直线，α，β为空间的两个平面，给出下列命题：
（1）若a‖α，a‖β，则α‖β；（2）若a⊥α，a⊥β，则α‖β；
（3）若a‖α，b‖α，则a‖b；（4）若a⊥α，b⊥α，则a‖b．
上述命题中，所有真命题的序号是 ▲ ．
8．双曲线 上一点M到它的右焦点的距离是3，则点M的横坐标是 ▲ ．
9．若函数 满足 ， ，且 的最小值等于 ，则正数 的值为 ▲ ．
10．若圆C： 在不等式 所表示的平面区域内，则 的最小值
为 ▲ ．
11．在平面直角坐标系 中，已知A（0，－1），B（－3，－4）两点．若点C在 的平分线上，且 ，则点C的坐标是 ▲ ．
12．已知函数 ，若 在（1，3]上有解，则实数 的取值范围为 ▲ ．
13．已知 ，若对 ， ， ，则实数 的取值范围是 ▲ ．
14．已知等腰三角形腰上的中线长为 ，则该三角形的面积的最大值是 ▲ ．
二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本题满分14分）
已知向量a，b满足|a|=2，|b|=1，|a－b|=2．
（1）求a•b的值；
（2）求|a+b|的值．
16．（本题满分14分）
如图，已知□ABCD，直线BC⊥平面ABE，F为CE的中点．
（1）求证：直线AE‖平面BDF；
（2）若∠AEB=90°，求证：平面BDF⊥平面BCE．
17．（本题满分15分）
如图，某市准备在道路EF的一侧修建一条运动比赛道，赛道的前一部分为曲线段FBC．该曲线段是函数 ， x∈[－4，0]时的图象，且图象的最高点为B（－1，2）;赛道的中间部分为长 千米的直线跑道CD，且CD// EF;赛道的后一部分是以O为圆心的一段圆弧 ．
（1）求 的值和 的大小；
（2）若要在圆弧赛道所对应的扇形ODE区域内建一个“矩形草坪”，矩形的一边在道路EF上，一个顶点在半径OD上，另外一个顶点P在圆弧 上，且 ，求当“矩形草坪”的面积取最大值时 的值．
18．（本题满分15分）
如图，已知椭圆 的左、右顶点分别为A，B，右焦点为F，直线l为椭圆的右准线，N为l上一动点，且在x轴上方，直线AN与椭圆交于点M．
（1）若AM=MN，求∠AMB的余弦值；
（2）设过A，F，N三点的圆与y轴交于P，Q两点，当
线段PQ的中点坐标为（0，9）时，求这个圆的方程．
19．（本题满分16分）
设 是定义在 [－1，1]上的奇函数，函数 与 的图象关于 轴对称，且当 时， ．
（1）求函数 的解析式；
（2）若对于区间（0，1]上任意的 ，都有 成立，求实数 的取值范围．
20．（本题满分16分）
已知数列{an}是各项均为正的等比数列，其公比为q．
（1）当q＝ 时，在数列{an}中：
①最多有几项在1～100之间？
②最多有几项是1～100之间的整数？
（2）当q＞1时，在数列{an}中，最多有几项是100～1000之间的整数？
（参考数据：lg3=0.477，lg2=0.301）．
B．附加题部分
21．【选做题】本题包括A，B，C，D共4小题，请从这4题中选做2小题，每小题10分，共20分．请在答题卡上准确填涂题目标记，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A．选修4－1：几何证明选讲
锐角三角形 内接于⊙O，∠ABC=60，∠BAC=40．作OE⊥AB交劣弧 于点E，连接EC，求∠OEC．
B．选修4－2：矩阵与变换
曲线 在矩阵 的作用下变换为曲线 ，
求 的方程．
C．选修4－4：坐标系与参数方程
P为曲线 ： （ 为参数）上一点，求它到直线 ： （ 为参数）距离的最小值．
D．选修4－5：不等式选讲
设 ，求证： ．
22．【必做题】本题满分10分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
用数学归纳法证明：
．
23．【必做题】本题满分10分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
某车站每天上午发出两班客车，第一班客车在8∶00，8∶20，8∶40这三个时刻随机发出，且在8∶00发出的概率为14，8∶20发出的概率为12，8∶40发出的概率为14；第二班客车在9∶00，9∶20，9∶40这三个时刻随机发出，且在9∶00发出的概率为14，9∶20发出的概率为12，9∶40发出的概率为14．两班客车发出时刻是相互独立的，张先生预计8∶10到站．求：
（1）请预测张先生乘到第一班客车的概率；
（2）张先生候车时间的分布列；
（3）张先生候车时间的数学期望．
南通市2011届高三第一次调研测试
数学参考答案
A． 必做题部分
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．
1．{1} 2．0.2 3． 4．55 5．690 6． 7．（2），（4）
8． 9．1 10． 11．
12． 13． 14．2
二、解答题：本大题共6小题，共90分．
15．（本题满分14分）
解：（1）由|a－b|=2，得|a－b| a 2a•b b a•b ，∴ a•b ．……………7分
（2）|a+b| a a•b b ，∴ |a+b| ． ………………………14分
16．（本题满分14分）
证明：（1）设AC∩BD＝G，连接FG．
由四边形ABCD为平行四边形，得G是AC的中点．
又∵F是EC中点，∴在△ACE中，FG‖AE．……………………………………………3分
∵AE 平面BFD，FG⊂平面BFD，∴AE‖平面BFD． ……………………………6分
（2）∵ ，∴ ．
又∵直线BC⊥平面ABE，∴ ．
又 ，∴直线 平面 ． …………………………………………8分
由（1）知，FG‖AE，∴直线 平面 ． ………………………………………10分
又直线 平面DBF，∴平面DBF⊥平面BCE． ………………………………………14分
17．（本题满分15分）
解：（1）由条件，得 ， ． ……………………………………………………………2分
∵ ，∴ ．……………………………………………………………………4分
∴ 曲线段FBC的解析式为 ．
当x=0时， ．又CD= ，∴ ．……………7分
（2）由（1），可知 ．
又易知当“矩形草坪”的面积最大时，点P在弧DE上，故 ．……………8分
设 ， ，“矩形草坪”的面积为
= ．…………………………………13分
∵ ，故 取得最大值． ………………………15分
18．（本题满分15分）
解：（1）由已知， ，直线 ．
设N（8，t）（t>0），因为AM=MN，所以M（2， ）．
由M在椭圆上，得t=6．故所求的点M的坐标为M（2，3）．………………………4分
所以 ， ．
．……………………………………7分
（用余弦定理也可求得）
（2）设圆的方程为 ，将A，F，N三点坐标代入，得
∵ 圆方程为 ，令 ，得 ．…11分
设 ，则 ．
由线段PQ的中点坐标为（0，9），得 ， ．
此时所求圆的方程为 ． ………………………………………15分
（本题用韦达定理也可解）
（2）（法二）由圆过点A、F得圆心横坐标为－1，由圆与y轴交点的纵坐标为（0，9），
得圆心的纵坐标为9，故圆心坐标为（－1，9）． …………………………………… 11分
易求得圆的半径为 ， ………………………………………………………………13分
所以，所求圆的方程为 ． ……………………………………… 15分
19．（本题满分16分）
解：（1） ∵ 的图象与 的图象关于y轴对称，
∴ 的图象上任意一点 关于 轴对称的对称点 在 的图象上．
当 时， ，则 ．………………………2分
∵ 为 上的奇函数，则 ．…………………………………………4分
当 时， ， ．…………………………6分
∴ ………………………………………………7分
（2）由已知， ．
①若 在 恒成立，则 ．
此时， ， 在 上单调递减， ，
∴ 的值域为 与 矛盾． ……………………………………11分
②当 时，令 ，
∴ 当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增，
∴ ．
由 ，得 ． ……………………………………15分
综上所述，实数 的取值范围为 ． ……………………………………………16分
20．（本题满分16分）
解：（1）①不妨设 ≥1，设数列 有n项在1和100之间，则
≤100．所以， ≤100．
两边同取对数，得 （n－1）（ lg3－lg2）≤2．解之，得 n≤12.37．
故n的最大值为12，即数列 中，最多有12项在1和100之间．……………5分
②不妨设1≤ … ≤100，
其中 ， ， ，…， 均为整数，
所以 为2 的倍数．所以3 ≤100，所以n≤5．………………………………8分
又因为16，24，36，54，81是满足题设要求的5项．
所以，当q＝ 时，最多有5项是1和100之间的整数．…………………………10分
（2）设等比数列 满足100≤a aq … ≤1000，
其中a，aq，…， 均为整数， ，显然，q必为有理数．…………11分
设q= ，t＞s≥1，t与s互质，
因为 = 为整数，所以a是 的倍数． ………………………………12分
令t=s+1，于是数列满足 100≤a＜a• ＜…＜a• ≤1000．
如果s≥3，则1000≥a• ≥（s+1）n－1≥4n－1，所以n≤5．
如果s=1，则1000≥a• ≥100• ，所以，n≤4．
如果s=2，则1000≥a• ≥100• ，所以n≤6．……………………………13分
另一方面，数列128，192，288，432，648，972满足题设条件的6个数，
所以，当q＞1时，最多有6项是100到1000之间的整数．………………………16分
B．附加题部分
21．【选做题】每小题10分．共20分．
A．选修4－1：几何证明选讲
解： 连OC．∵ ∠ABC=60，∠BAC=40，∴ ∠ACB=80． …………………………………4分
∵ OE⊥AB，∴ E为 的中点，∴ 和 的度数均为80．
∴ ∠EOC=80+80=160． …………………………………………………………………8分
∴ ∠OEC=10． ……………………………………………………………………………10分
B．选修4－2：矩阵与变换
解：设 为曲线 上任意一点， 为曲线 上与P对应的点，
则 ，即 ……………………………………5分
∵ 是曲线 上的点，∴ 的方程 ．………………………………10分
C．选修4－4：坐标系与参数方程
解：将曲线 化成普通方程是 ，圆心是（1，0），
直线 化成普通方程是 ，则圆心到直线的距离为2． …………………………5分
∴ 曲线 上点到直线的距离为1，该点为（1，1）．……………………………………10分
D．选修4－5：不等式选讲
证明：由柯西不等式，得
…………………………………5分
．
∴ ． …………………………………………………10分
22．【必做题】本题满分10分．
证明：（1）当 时，左边 ，右边 左边，
∴等式成立．……………………………………………………………………………2分
（2）设当 时，等式成立，
即 ．………………4分
则当 时，
左边
∴ 时，等式成立． …………………………………………………………8分
由（1）、（2）可知，原等式对于任意 成立．………………………………10分
23．【必做题】本题满分10分．
解：（1）第一班若在8∶20或8∶40发出，则张先生能乘到，其概率为P=12+14=34．
答：张先生乘到第一班客车的概率为34．…………………………………………………3分
（2）张先生候车时间的分布列为：
候车时间（分） 10 30 50 70 90
概率 12
14
14×14
14×12
14×14
……………………………………………………………………………………6分
（3）张先生候车时间的数学期望为
10×12＋30×14＋50×116＋70×18＋90×116
=5＋152＋258＋354＋458=30． ……………………………………………………………9分
答：张先生候车时间的数学期望是30分钟．……………………………………………10分
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