（1）用导数证明：若x∈（0，π2），则sinx＜x＜tanx．（2）若a＜sinxx＜b对x∈（0，π2）恒成立，求a的

（1）证明：设f（x）=x-sinx，g（x）=tanx-x，x∈（0，

π

2

），
f′（x）=1-cosx＞0，g′（x）=

1

cos2x

-1＞0，
由于f（x）和g（x）在（0，

π

2

）上都是单调递增函数，
∴f（x）＞f（0）=0，g（x）＞g（0）=0，
∴x-sinx＞0，tanx-x＞0=＞x＞sinx，tanx＞x，
∴sinx＜x＜tanx，x∈（0，

π

2

）．…6分
（2）解：当x＞0时，“

sinx

x

＞a”等价于“sin x-ax＞0”，
“

sinx

x

＜b”等价于“sin x-bx＜0”．
令g（x）=sin x-cx，则g′（x）=cos x-c．
①当c≤0时，g（x）＞0对任意x∈（0，

π

2

）恒成立．
②当c≥1时，因为对任意x∈（0，

π

2

），g′（x）=cos x-c＜0，
∴g（x）在区间（0，

π

2

）上单调递减，
从而g（x）＜g（0）=0对任意x∈（0，

π

2

）恒成立．…8分
③当0＜c＜1时，存在唯一的x₀∈（0，

π

2

）使得g′（x₀）=cos x₀-c=0．
g（x）与g′（x）在区间（0，

π

2

）上的情况如下：

x	（0，x0）	x0	（x0， π 2 ）
g′（x）	+	0	-
g（x）	递增		递减

∵g（x）在区间（0，x₀）上是增函数，
∴g（x₀）＞g（0）=0．
于是“g（x）＞0对任意x∈（0，

π

2

）恒成立”当且仅当g（

π

2

）=1-

π

2

c≥0，即0＜c≤

2

π

．…11分
综上所述，当且仅当c≤

2

π

时，g（x）＞0对任意x∈（0，

π

2

）恒成立；
当且仅当c≥1时，g（x）＜0对任意x∈（0，

π

2

）恒成立．
∴若a＜

sinx

x

＜b对任意x∈（0，

π

2

）恒成立，
则a的最大值为

2

π

，b的最小值为1．…13分．