令F（x）=
1 x
f(t)dt，则F（0）=0．
∫
利用积分上限函数的性质可得，F（x）在[0，1]上连续，在（0，1）内可导，且
F′（x）=?
1 x2
f(t)dt+
∫
=f(x) x
(f(x)?1 x
1 x
f(t)dt)．
∫
因为f（x）在[0，1]上连续且单调增加，
所以
f(t)dt≤xf（x），
∫
从而
1 x
f(t)dt≤f（x），
∫
即有：F′（x）≥0．
从而，F（x）在[0，1]上单调增加，
故对于任意a∈[0，1]，均有F（a）≤F（1），
即：
1 a
f(t)dt≤
∫
f(t)dt，
∫
即：
f(t)dt≤a
∫
f(t)dt．
∫
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