| 解：因为a+b+c=0，a>b>c，
所以b=-a-c，a>0，c＜0；
（Ⅰ）证明：因为二次方程f（x）=0的根的判别式，
△=b 2 -4ac=（-a-c） 2 -4ac=（a-c） 2 ，
由a>c，得△=（a-c） 2 >0，
故方程f（x）=0有两个不同的实根，即函数f（x）有两个不同的零点；
（Ⅱ）由ax 2 +bx+a+c=0，得f（x）=-a，
①函数f（x）的图象为开口向上的抛物线，
由f（x）=-a＜0，知实数x介于方程f（x）=0的 两根之间，
由于f（1）=a+b+c=0，则1是方程f（x）=0的一个根，
又由根与系数的关系，得另一个根为 ，
由a+b+c=0，a>b，得a>-a-c
所以a> ，即 >-2
故x+3> +3>-2+3=1
因此f（x+3）为正，
②令g（x）=ax 2 +bx+a+c，则g（x）=f（x）+a，
所以，g（ ）=f（ ）+a=a>0，
g（1）=f（1）+a>0
因为二次方程ax 2 +bx+a+c=0有实数根，所以
△=b 2 -4a（a+c）=（-a-c） 2 -4a（a+c）
=-3a 2 -2ac+c 2 ≥0，
即（3a-c）（a+c）≤0，
解得
又a>0，且b=-（a+c）≠0，
所以0＜a＜-c，
所以a+c＜0，
故g（0）=f（0）+a=a+c＜0，
因此，关于x的方程ax 2 +bx+a+c=0在区间 和（0，1）内各有一个实根。 | 
